2.2.3向量数乘运算及其几何意义(教案)_向量数乘及其几何意义

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高一（1）部数学备课组

2013年5月21日

2.2.3向量数乘运算及其几何意义

一、教学目标

1．掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算；

2．理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行；

3．通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想。

二、教学重点与难点

重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的充要条件； 难点：理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件

三、教学过程

1．设置情境：

引入：位移、力、速度、加速度等都是向量，而时间、质量等都是数量，这些向量与数

量的关系常常在物理公式中体现。如力与加速度的关系F=m a，位移与速度的关系s=v t。这些公式都是实数与向量间的关系。

师：我们已经学习了向量的加法，请同学们作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a)向量，并请同学们指出相加后，和的长度与方向有什么变化？这些变化与哪些因素有关？

(-a)+(-a)+(-a)a+a+a的长度是a的长度的3倍，生：其方向与a的方向相同，的长度是a长度的3倍，其方向与a的方向相反。

2．新知探究： 1）.定义：

实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa.它的长度和方向规定如下：



（1）|λa|=|λ||a|.

（2）λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ

思考：求作向量2(3a)和6a（a为非零向量）并进行比较，向量2(a+b)与向量2a+2b相等吗？

设a、b为任意向量，λ、μ为任意实数，则有：



（1）(λ+μ)a=λa+μa；（2）λ(μa)=(λμa)；（3）λ(a+b)=λa+λb.通常将（2）称为结合律，（1）（3）称为分配律。高一（1）部数学备课组

2013年5月21日

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算.对于任意向量a、b，以及任意实数、

1、2，恒有（仍是向量）（1a1b）=1a1b。3）共线向量定理

向量a(a0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数, 使ba.3.例题讲解：

(1)(3)4a;例1，计算(2)3(ab)2(ab)a;(3)(2a3bc)(3a2bc).计算:(1)（22a6b3c)3(3a4b2c);练习：（2）已知3(xa)2(x2a)4(xab)0

 求x.例2.已知AD3AB，DE3BC，试判断AC与AE是否共线．

例3.平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且ABa,ADb，你能用a,b来表示MA、MB、MC和MD。

例4.已知任意两个向量a,b，试作OAab, OBa2b,OCa3b.你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？

练习：已知，D是ABC的边AB上的中点，则向量CD()

11Ａ．BCBA Ｂ．BCBA　22 11C． BCBA Ｄ．BCBA224.小结: 1），向量数乘的定义及运算律； 2），共线向量定理； 3），定理的应用：

a、证明向量共线； b、证明三点共线； c、证明两直线平行。