林寿数学史教案第九讲：19世纪的几何_林寿数学史第六讲
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第九讲：19世纪的几何
1、几何学的变革
几何学的基础：现实空间与思维空间。1.1 微分几何
平面曲线理论17世纪基本完成。1696年洛比塔（法，1661－1704年）的《无穷小分析》完成并传播了平面曲线理论。
1760年欧拉（瑞，1707－1783年）《关于曲面上曲线的研究》，建立了曲面理论，1795年蒙日（法，1746－1818年）《关于分析的几何应用的活页论文》借助微分方程对曲面族深入研究。
蒙日简介。1.2 非欧氏几何
从公元前3世纪到18世纪末，数学家们虽然一直坚信欧氏几何的完美与正确，但“平行公设”始终让他们耿耿于怀。
萨凯里（意，1667－1733年）1733年《欧几里得无懈可击》提出“萨凯里四边形”。1763年克吕格尔（德，1739－1812年）对平行线公设是否能由其它公理加以证明表示怀疑。1766年兰伯特（法，1728－1777年）《平行线理论》指出通过替换平行公设而展开新的无矛盾的几何学道路。
1813年高斯（德，1777－1855年）：反欧几里得几何，非欧几里得几何，担心世俗的攻击而未发表。1826年罗巴切夫斯基（俄，1792－1856年）《简要论述平行线定理的一个严格证明》，历史上第一篇公开发表的非欧几何文献。1832年J•鲍约（匈，1802－1860年）《绝对空间的科学》，所谓“绝对几何”就是非欧几何。
黎曼（德，1826－1866年）1854年《关于几何基础的假设》建立了黎曼几何。在黎曼几何中，过已知直线外一点不能作任何平行于该给定直线的直线。
黎曼简介。
1868年贝尔特拉米（意，1835－1899年）《论非欧几何学的解释》，在“伪球面”模型上实现（片段上）罗巴切夫斯基几何。1871年克莱因（德，1849－1925年）“圆”模型实现罗巴切夫斯基几何，1882年庞加莱（法，1854－1912年）也对罗巴切夫斯基几何给出了一个欧氏模型，克莱因－庞加莱圆。1.3 射影几何
将射影几何变革为具有独立目标与方法的学科的数学家是庞斯列。综合方法。1822年庞斯列（法，1788－1867年）的《论图形的射影性质》，探讨图形在投射和截影下保持不变的性质，阐述了连续性原理、对偶原理。
代数方法。1827年默比乌斯（德，1790－1868年）的《重心计算》中的齐次坐标，1829年普吕克（德，1801－1868年）的三线坐标。
1847年施陶特（德，1798－1867年）的《位置几何学》不借助长度概念就得以建立射影几何。凯莱（英，1821－1895年）和克莱因（德，1849－1925年）在射影几何基础上建立欧氏几何和非欧几何。
1.4 统一的几何学
1872年克莱因（德，1849－1925年）在埃尔朗根大学的教授就职演讲《关于近代几何研究的比较考察》，阐述了几何学统一的思想。
克莱因简介。1.5 几何学的公理化
19世纪的数学家重新审视《原本》时发现它有许多弱点。1899年希尔伯特《几何基础》，提出了对现代数学影响深远的统一几何学的途径：公理化方法。
希尔伯特在历史上第一次明确地提出了选择和组织公理系统的三原则：相容性、独立性、完备性。
希尔伯特简介。
2、19世纪的中国数学
西方数学在中国早期传播的第二次高潮是从19世纪中叶开始。李善兰、华蘅芳等为中国近代科学事业的先行者。
2.1 李善兰（清，1811－1882年）
李善兰：1850年完成著作《垛积比类》，翻译了《几何原本》（1857）、《代微积拾级》（1859）和《代数学》（1859）。
2.2 华蘅芳（清，1833－1902年）
华蘅芳：1868年到江南制造总局翻译馆，翻译了《代数术》（1872）、《微积溯源》（1874）和《决疑数学》（1880）。
西方数学在中国的早期传播对中国现代数学的形成功效并不显著。自19世 2 纪末开始，一批中国留学生到日本、欧美学习数学，回国后创办数学系，1919年“五四”运动前后，中国现代数学稍具雏形。
