相似教案_图形的相似教案

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相似

1．成比例线段

用同一长度单位度量两条线段所得量数的比叫做这两条线段的比．

如果线段a和b的比等于线段c和d的比，那么线段a，b，c，d叫做成比例线段，记作ac或a∶b＝c∶d，其中a，c叫做比的前项，b，d叫做比的后项，b，c叫做比例内bd若项，a，d叫做比例外项，d叫做a，b，c的

(3)相似三角形的对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比；(4)相似三角形周长比等于相似比；

(5)相似三角形面积的比等于相似比的平方． 6．相似多边形的性质

(1)相似多边形的对应角相等；

(2)相似多边形对应边的比等于相似比；(3)相似多边形周长的比等于相似比；

(4)相似多边形面积的比等于相似比的平方． 7．直角三角形中的成比例线段

如图13－1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D，则(1)△ADC∽△ACB∽△CDB(可拆成三对相似三角形)；

图13－1(2)CD2＝AD·DB；(注：用时要证明)(3)AC2＝AD·AB，BC2＝BD·BA；(注：用时要证明)(4)CD·AB＝AC·BC．(注：用时要证明)8．位似

(1)如果两个多边形相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这两个多边形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．

(2)如果两图形F与F′是位似图形，它们的位似中心是点O，相似比为k，那么

①设A与A′是一对对应点，则直线AA′过位似中心O点，并且②设A与A′，B与B′是任意两对对应点，则

OAk.OA'ABk若直线AB，A′B′不通过位AB似中心O，则AB∥A′B′．

(3)利用位似，可以将一个图形放大或缩小．

(4)在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k． ．．．．9．相似图形的应用

二、例题分析

例

1已知：如图13－2，点P是边长为4的正方形ABCD内一点，PB＝3，BF⊥BP于点B，试在射线BF上找一点M，使得以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，作图并指出相似比k的值．

图13－2

分析

由已知，∠ABP＝∠CBF．欲使以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，只要使夹∠ABP及∠CBF的两边对应成比例．

解

如图13－3．

图13－3 ∵AB⊥BC，PB⊥BF，∴∠ABP＝∠CBF．

BM14BM1BC，即，BM1＝3时，△CBM1∽△ABP．相似比k＝1． 3BPAB44BM2BCBM2416当即,BM2时，△CBM2∽△PBA．相似比k 4ABBP33316∴当BM＝3或BM时，以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，相似比分

3当4别为1和

3说明

(1)对于探究三角形相似的条件这类问题，可从“角的关系在先、边的关系在后”的思维顺序入手，由于题目条件中只有一组对应角相等，因此就考虑这组对应角的四条线段何时对应成比例，由于点C可以与点A对应(此时点M与点P对应)，点C也可以与点P对应(此时点M与点A对应)，因此有两种情形．

(2)注意当相似比k＝1时，两个相似图形全等，因此，全等图形是相似图形的特例． 例

2已知：如图13－4，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC，CD于点P，Q

图13－4

(1)请写出图中各对相似三角形(相似比为1的除外)；(2)求BP∶PQ∶QR的值．

解

(1)△BCP∽△BER，△PCQ∽△RDQ，△PCQ∽△PAB，△PAB∽△RDQ．(2)∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，∴BC＝AD＝CE，AC∥DE．

PBPR,PC1 RE2又∵PC∥DR，∴△PCQ∽△RDQ． ∵点R是DE中点，∴DR＝RE．

PQPCPC1,∴QR＝2PQ． QRDRRE2又∵BP＝PR＝PQ＋QR＝3PQ，∴BP∶PQ∶QR＝3∶1∶2． 说明

(1)如图13－5，“若DE∥BC，则△ADE∽△ABC”．这是用平行线截得三角形构成相似三角形，得到成比例线段常见的基本图形结构．

图13－5(2)对于例2，还可进一步思考研究其他问题，例如，在已知条件不变的前提下，若△PCQ的面积为S，你能用含S的代数式分别表示图13－4中其他各图形的面积吗?并说明你的理由．

(1)△BPC的面积＝______．理由是__________________________________________；(2)△ABP的面积＝______．理由是__________________________________________；(3)四边形PCER的面积＝______．理由是____________________________________；(4)四边形APRD的面积＝______．理由是____________________________________； „„

例3 如图13－6，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝7，∠B＝60°，P为下底BC上一点(不与B，C重合)，连接AP，过P点作PE交DC于E，使得∠APE＝∠B．

图13－6(1)你认为图中哪两个三角形相似，为什么?(2)当点P在底边BC上自点B向C移动的过程中，是否存在一点P，使得DE∶EC＝5∶3?如果存在，求BP的长；如果不存在，请说明理由．

解

(1)△ABP∽△PCE．其理由是除∠B＝∠C外，由于∠APE＝∠B＝60°，∠APC＝∠B＋∠BAP＝∠APE＋∠CPE，∴∠BAP＝∠CPE．由“两角对应相等，两三角形相似”可得△ABP∽△PCE．

BCAD2，腰长AB＝CD＝2CF＝4，这样原2问题转化为在底边BC上是否存在一点P，使得CE＝1.5．(2)作DF⊥BC于F，由已知可得CF＝假设存在P点，使CE＝1.5，由△ABP∽△PCE，得

BPAB，可得BP·PC＝AB·CECEPC＝6．

设BP＝x，∵BC＝BP＋PC＝7，∴PC＝7－x．

∴x(7－x)＝6，即x2－7x＋6＝0． 解得x1＝1，x2＝6．

答

当BP＝1或BP＝6时，使得DE∶EC＝5∶3．

例4 如图13－7，正方形ABCD的边长为4，M，N分别是BC，CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直．

图13－7(1)求证：Rt△ABM∽Rt△MCN；

(2)设BM＝x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN的面积最大，并求出最大面积；

(3)当M点运动到什么位置时，Rt△ABM∽Rt△AMN，并求x的值． 解

(1)在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝4，∠B＝∠C＝90°． ∵AM⊥MN，∴∠AMN＝90°．

∴

∠CMN＋∠AMB＝90°．

在Rt△ABM中，∠MAB＋∠AMB＝90°，∴∠MAB＝∠CMN． ∴Rt△ABM∽Rt△MCN．(2)∵Rt△ABM∽Rt△MCN，ABBM4x，即

MCCN4xCNx24xCN

4yS梯形ABCN1x24x4(4)2411x22x8(x2)210.22当x＝2时，y取最大值，最大值为10．(3)∵∠B＝∠AMN＝90°，∴要使△ABM∽△AMN，只需由(1)知

AMAB MNBMAMAB MNMC∴BM＝MC．

∴当点M运动到BC的中点时，△ABM∽△AMN，此时x＝2．

例5 如图13－8，在正方形ABCD中，AD＝12，点E是边CD上的动点(点E不与端点C，D重合)，AE的垂直平分线FP分别交AD，AE，BC于点F，H，G，交AB的延长线于点P．

图13－8

(1)设DE＝m(0＜m＜12)，试用含m的代数式表示(2)在(1)的条件下，当

FH的值； HGFH1时，求BP的长． HG2解

(1)如图13－9，过点H作MN∥AB，分别交AD，BC于M，N点．在正方形ABCD中，图13－9

∵AD∥BC，∴△FMH∽△GNH．

FHMH HGHN∵FH垂直平分AF，∴在△ADE中，H是AE的中点． 又∵MH∥DE，∴M是AD的中点． 11DEx.22由已知，不难得出四边形ABNM是矩形． ∴MN＝AB＝AD＝12． MHHN121x.21mFHMHm2,1HGHN24m12m2其中0＜m＜12．

FH1m1时，，解得m＝8． HG224m2欲求BP的长，只要求AP的长．

在Rt△ADE中，∵AD＝12，DE＝8，2 AE413,AH213,sinEAD13(2)当∵FP⊥AE于点H，∠DAP＝90°，∴∠P＝∠EAD．

AH13, sinP∴BP＝AP－AB＝13－12＝1．

说明

(1)在解

(2)在解

图13－12

∵∠FDE＋∠4＝90°，∴∠FDE＝∠1．∴△DEF∽△HGM．

DEEF HGGM而EF＝b－a，DE＝a，HG＝b－c，GM＝c，即aba,得ac＝(b－a)(b－c)． bcc整理可知b(a＋c)＝b2，而b≠0，∴a＋c＝b．

例8(2008哈尔滨市)已知菱形ABCD的边长是6，点E在直线AD上，DE＝3，连接BE，与对角线AC相交于点M，则解

MC的值是______． AM2 3提示

注意题中给出的“点E在直线AD上”这个条件，因此有两种情况．

MCBC2；(2)AMAEMCBC2 点E在AD的延长线上时，如图13－13(b)，△CMB∽△AME，AMAE3(1)点E在线段AD上时，如图13－13(a)，△CBM∽△AEM．

图13－13

四、课标考试达标题(一)选择题

1．如图13－14，AB∥CD，AE∥FD，AE，FD分别交BC于点G，H，则图中共有相似三角形（）．

图13－14 A．4对

B．5对 C．6对

D．7对

2．如图13－15所示，小刚身高AB为1.7m，测得他站立在阳光下的影子AC长为0.85m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子AD长为1.1m，那么小刚举起的手臂BE超出头顶

（）．

图13－15 A．0.5m B．0.55m C．0.6m D．2.2m 3．如图13－16，在△ABC中，AB＞AC，过AC边上一点D作直线与AB相交，使得构成的新三角形与△ABC相似，这样的直线共有（）．

图13－16 A．1条

B．2条 C．3条

D．4条

4．如图13－17，王华同学晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，他继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB等于（）．

图13－17 A．4.5米

B．6米 C．7.2米

D．8米

5．如图13－18，在8×8正方形的网格上，若使△ABC∽△PBD，则点P应在（）．

图13－18 A．P1处

B．P2处 C．P3处

D．P4处

6．如图13－19，把△PQR沿着PQ的方向平移到△P′Q′R′的位置，它们重叠部分的面积是△PQR面积的一半，若PQ＝2，则此三角形移动的距离PP′是（）．

图13－19 A．1 2B．

C．1

D．21

(二)填空题

7．已知：如图13－20，在△ABC中，AD∶DB＝1∶2，DE∥BC交AC于E，若△ABC的面积等于81，则四边形BCED的面积为______．

图13－20 8．如图13－21，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，点G，H在DC边上，BC＝12，GH1DC.若AB＝10，则图中阴影部分的面积为______． 2

图13－21 9．如图13－22，△ABC与△A′B′C′的位似中心为点O，若AB＝2，A′B′＝5，则△ABC与△A′B′C′的面积比是______，AC与A′C′的比是______．

图13－22 10．如图13－23，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作

11．如图13－24，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，连接DE并延长交BC的延长线于点F，连接DC，BE．若∠BDE＋∠BCE＝180°，写出图中三对相似三角形(注意：不得加字母和线)；请在你所找出的相似三角形中选取一对，说明它们相似的理由．

图13－24

12．如图13－25，在□ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连接AE．F为AE上一点，且∠BFE＝∠C．

图13－25(1)求证：△ABF∽△EAD；

(2)若AB＝4，∠BAE＝30°，求AE的长；

(3)在(1)、(2)的条件下，若AD＝3，求BF的长．(计算结果可含根号)

13．如图13－26，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝7，CD＝1，AD＝BC＝5．点M，N分别在边AD，BC上运动，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为E，F．

图13－26(1)求梯形ABCD的面积；

(2)求四边形MEFN面积的最大值；

(3)试判断四边形MEFN能否为正方形，若能，写出正方形MEFN的面积．

参考答案