初三数学几何部分第一轮复习圆教案_初三数学一轮复习圆

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初三数学几何部分第一轮复习教案——第六章：圆

上传: 黄水才

更新时间：2012-5-28 15:28:00

教学目的：

1、理解圆、等圆、等孤等概念及圆的对称性。

2、掌握点和圆的位置关系，会用尺规作经过不在同一直线上三点的圆，掌握五种常见的轨迹。

3、掌握垂径定理及其推论以及圆心角、孤、弦、弦心距的相关定理，并会用它们进行论证和计算。

4、理解圆心角、圆周角、弦切角及多边形外接圆和圆内接多边形的概念。

5、掌握圆周角定理和弦切角定理以及它们的推论，掌握圆内接四边形性质定理，并能熟练地运用这些知识进行有关证题和计算，会作两条线段的比例中项。

6、掌握直线和圆的位置关系，掌握切线的判定定理和性质定理及其推论，掌握切线长定理；掌握切点和圆心的连线与切线垂直等性质，并会利用它们进行有关的证明和计算。

7、会过一点画圆的切线，会用尺规作三角形的内切圆。

8、掌握国与圆的位置关系，掌握相交丙圆的连心线垂直平分两回的公共弦，相切而圆的连心线经过切点和公切线长定理；并会利用它们进行有关的证明和计算；会画而圆的公切线。

9、掌握圆与三角形、四边形关系，掌握三角形内心概念和外切四边形的性质。

10、掌握相交弦定理，割线定理、切割线定理及其推论，灵活运用这些定理证明圆的有关线段的比例式或等积式问题。

11、理解正多边形及正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念、会进行正多边形的边长、半径、边心距和中心角的有关计算。

12、会计算圆的周长，孤长及简单组合圆形的周长；会计算圆的面积、弓形的面积及简单组合图形的面积。

13、会计算圆柱和圆锥的侧面积和全面积。知识点：

一、圆

1、圆的有关性质

在一个平面内，线段oa绕它固定的一个端点o旋转一周，另一个端点a随之旋转所形成的图形叫圆，固定的端点o叫圆心，线段oa叫半径。

由圆的意义可知：

圆上各点到定点（圆心o）的距离等于定长的点都在圆上。

就是说：圆是到定点的距离等于定长的点的集合，圆的内部可以看作是到圆。心的距离小于半径的点的集合。

圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合。连结圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧。

圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫半圆，大于半圆的弧叫优弧；小于半圆的弧叫劣弧。由弦及其所对的弧组成的圆形叫弓形。

圆心相同，半径不相等的两个圆叫同心圆。

能够重合的两个圆叫等圆。

同圆或等圆的半径相等。

在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧。

二、过三点的圆 l、过三点的圆

过三点的圆的作法：利用中垂线找圆心

定理不在同一直线上的三个点确定一个圆。经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆，外接圆的圆心叫外心，这个三角形叫圆的内接三角形。

2、反证法

反证法的三个步骤：

①假设命题的结论不成立；

②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；

③由矛盾得出假设不正确，从而肯定命题的结论正确。

例如：求证三角形中最多只有一个角是钝角。

证明：设有两个以上是钝角

则两个钝角之和＞180 °

与三角形内角和等于180 ° 矛盾。∴不可能有二个以上是钝角。

即最多只能有一个是钝角。

三、垂直于弦的直径

圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

推理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对两条弧。

弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一个条弧。

推理2：圆两条平行弦所夹的弧相等。

四、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

实际上，圆绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合。

顶点是圆心的角叫圆心角，从圆心到弦的距离叫弦心距。

定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等。

推理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

五、圆周角

顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角。

推理1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

推理2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90 ° 的圆周角所对的弦是直径。

推理3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

由于以上的定理、推理，所添加辅助线往往是添加能构成直径上的圆周角的辅助线。

六、圆的内接四边形

多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫圆内接多边形，这个圆叫这个多边形的外接圆 定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。

例如图6—1，连ef后，可得：

∠def＝∠b ∠def＋∠a＝180 ° ∴∠a＋∠b＝18ry ∴bc∥da

七、直线和圆的位置关系

1、直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫圆的割线

直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点。

直线和圆没有公共点时，叫直线和圆相离。

2、若圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则：

直线和圆相交 d＜r；直线和圆相切 d＝r；直线和圆相离 d＞r；直线和圆相交 d＜r 例如：图6－2中，直线与圆o相割，有：r＞d 图6－3中，直线与圆o相切，r＝d 图6－4中，直线与圆o相离，r＜d

八、切线的判定和性质

切线的判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径 推理1：经过圆心且垂直干切线的直线必经过切点。

推理2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

例如图6－5中，o为圆心，ac是切线，d为切点。

∠b＝90 °

则有bc是切线 od是半径 od⊥ac 九、三角形的内切圆

要求会作图，使它和己知三角形的各边都相切

∵分角线上的点到角的两边距离相等。∴两条分角线的交点就是圆心。

这样作出的圆是三角形的内切圆，其圆心叫内心，三角形叫圆的外切三角形。

和多边形各边都相切的圆叫多边形的内切圆，多边形叫圆的外切多边形。

十、切线长定理

经过圆外一点可作圆的两条切线。在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫这点到圆的切线长。

切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角，如图6－ 6 b、c为切点，o为圆心。ab＝ac，∠1＝∠2

十一、弦切角

顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角。

弦切角定理弦切角等于它所央的弧对的圆周角。

推理如果两个弦切角所央的弧相等，那么这两个弦切角也相等。例如图6－7，ab为切线，则有：∠c＝∠bae，∠bae＝∠d ∴∠c＝∠d

十二、和圆有关的比例线段

相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

推理：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

推理：从圆外一点引两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等，如图6－8，若f为切点

则有：af2=ah·ac，ag·ab＝af2 em·md=bm·mg cn·nh=dn·ne

十三、圆和圆的位置关系如图6－9 若连心线长为d，两圆的半径分别为r，r，则：

1、两圆外离 d ＞r＋r；

2、两圆外切 d = r＋r；

3、两圆相交 r－r＜d＜r＋r（r＞r）

4、两圆内切 d = r－r；（r＞r）

5、两圆内含 d＜r－r。（r＞r）

定理相交两圆的连心线垂直平分丙两圆的公共弦。

如图6－10，o1，o2为圆心，则有：ab⊥o1o2，且ab被o1o2平分

十四、两圆的公切线

和两个圆都相切的直线叫两圆的公切线，两圆在公切线同旁时，叫外公切线，在公切线两旁时，叫内公切线，公切线上两个切点的距离叫公切线的长。

如图6－11，若 a、b、c、d为切点，则ab为内公切线长，cd为外公切线长

内外公切线中的重要直角三角形，如图6－12，oo1a为直角三角形。d2=（r－r）2＋e2为外公切线长，又如图 6－13，oo1c为直角三角形。d 2＝（r十r）2＋ e ’ 2为内公切线长。

十五、相切在作图中的应用

生活、生产中常常需要由一条线（线段或孤）平滑地渡到另一条线上，通常称为圆弧连接，简称连接，连接时，线段与圆弧，圆弧与圆弧在连接外相切，如图 6－ 14

十六、正多边形和圆

各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形。

定理：把圆分成n（n＞3）等分：

（l）依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内按正多边形；

（2）经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形。

定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。

正多边形的外接（或内切）圆的圆心叫正多边形的中心。外接圆的半径叫正多边形的半径，内切圆的半径叫正多边形的边心距。

正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，叫正多边形的中心角。

正n边形的每个中心角等于

正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。

若n为偶数，则正n边形又是中心对称图形，它的中心就是对称中心。

边数相同的正多边形相似，所以周长的比等于边长的比，面积的比等于边长平方的比。

十七、正多边形的有关计算

正n边形的每个内角都等于

定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。正多边形的有关计算都归结为解直角三角形的计算。

十八、画正多边形

1、用量角器等分圆

2、用尺规等分圆

正

三、正

六、正

八、正四及其倍数（正多边形）。

正五边形的近似作法；

二十、圆周长、弧长

1、圆周长c＝2πr；

2、弧长 二

十一、圆扇形，弓形的面积 l、圆面积： ；

2、扇形面积：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。

在半径为r的圆中，圆心角为n ° 的扇形面积s扇形的计算公式为：

注意：因为扇形的弧长。所以扇形的面积公式又可写为

（3）弓形的面积

由弦及其所对的弧组成的圆形叫做弓形。

弓形面积可以在计算扇形面积和三角形面积的基础上求得。如果弓形的弧是劣弧，则弓形面积等于扇形面积减去三角形面积。若弓形的弧是优弧，则弓形面积等于扇形面积加上三角形面积。

二十二、圆柱和圆锥的侧面展开图

1、圆柱的侧面展开图

圆柱可以看作是由一个矩形旋转得到的，如把矩形abcd绕边ab旋转一周得到的图形是一个圆柱。（图6一16）

ab叫圆柱的轴，圆柱侧面上平行轴的线段cd，c ’ d ’，…都叫圆柱的母线。

圆柱的母线长都相等，等于圆柱的高。

圆柱的两个底面是平行的。

圆柱的侧面展开图是一个长方形，如图6－17，其中ab=高，ac=底面圆周长。

∴s侧面=2πrh

圆柱的轴截面是长方形一边长为h，一边长为2r r是圆柱底半径，h是圆柱的高。见图6－8

（2）圆锥的侧面展开图

圆锥可以看作由一个直角三角形旋转得到。

如图6－19，把rt△oas绕直线so旋转一周得到的图形就是圆锥。

旋转轴so叫圆锥的轴，连通过底面圆的圆心，且垂直底面。

连结圆锥顶点和底面圆的任意一点的sa、sa ’、…都叫圆锥的母线，母线长都相等。

圆锥的侧面展开图如图6一19是一个扇形sab 半径是母线长，ab是2πr。（底面的周长），所以圆锥侧面积为s侧面=πrl 例题：

例

1、如图7.2-1，ab是⊙o的直径，ad⊥cd,bc⊥cd,且ad+bc=ab，1、求证：⊙o与cd相切；

2、若cd=3，求ad?bc.[特色]本题来源于教材，主要考查切线的判定方法及相似三角形的知识.[解答](1)过o点作oe⊥cd于e.∵ ad⊥cd，bc⊥cd，∴ ad∥oe∥bc，又∵ao=bo，∴de=ce，∴ oe=(ad+bc).而ab=ad+bc，∴ oe=oa，而oe⊥cd，∴⊙o与cd相切.(2)连结ae、be，∵⊙o与cd相切，∴ oe⊥cd，∠ bae=∠bec.而∠ bae=∠ oea，∠ oea+∠ dea=90，∴∠ dea+∠bec=90.又∵ad⊥cd，∴∠ dea+∠ dae=90，∴∠ dae=∠bec，∴ △aed∽△ebc，∴ad?ec=de?bc，即ad?bc=de?ec= =.例

2、如图7.1-2.已知，ab 为⊙ o 的直径，d 为弦 ac 的中点，bc=6cm, 则 od=.[ 特色] 以上几道中考题均为直接运用圆的有关性质解题.[解答]由三角形的中位线定理知 od=bc 例

3、如图7.3-1 ⊙ o 为△ abc 的内切圆，∠ c=,ao 的延长线交 bc 于点 d,ac=4,cd=1, 则⊙ o 的半径等于（）.a、b、c、d、[ 特色]本题考查内心的性质.[解答] 过点 o 半径 oe, 则 oe ∥ cd,ae ∶ ac=oe ∶ cd, 设半径为 r, 则（4-r）∶4= r ∶ 1, 解之得r= , 选 a.例

4、圆内接四边形 abcd，∠ a、∠ b、∠ c 的度数的比是 1 ∶ 2 ∶ 3，则这个四边形的最大角是.[特色]运用圆内接四边形的性质进行简单计算.[解答]设 a=x，则∠ b=2x, ∠ c=3x.∵∠ a+ ∠ c=180，∴ x+3x=180，∴ x=45.∴∠ a=45，∠ b=90，∠ c=135，∠ d=90.∴ 最大角为 135.例

5、如图7.5-1，o 和 o 外切于点 c，直线 ab 分别外切⊙ o 于 a，⊙ o 于 b，⊙ o 的半径为 1，ab=2，则⊙ o 的半径是.[特色]以上各题都是圆与圆的位置关系中常见的基本题型，着眼于考查学生对两圆的位置关系的理解及运用.[解答]（1）选 b，利用两圆相交，连心线垂直平分公共弦，再根据勾股定理可求得.例

6、将两边长分别为4 cm 和6 cm 的矩形以其一边所在的直线为轴旋转一周，所得圆柱的表面积为 cm.[ 特色]考查圆柱的表面积的计算，着眼于考查学生思维的全面性.[解答]以边长为4 cm 作母线所得到的圆柱的表面积为80 ；以边长为6 cm 作母线所得到的圆柱的表面积为120.例

7、如图7.6-2，正六边形内接于半径为1的圆，其中阴影部分的面积是.[特色]考查学生对基本概念的理解以及基本运算能力.[解答] 答案：.作半径，用扇形的面积减去三角形的面积.