高中数学：1.6微积分基本定理(教案)_高中数学微积分教案

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三、教学过程

1、复习：

定积分的概念及用定义计算

2、引入新课

我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。

变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系

设一物体沿直线作变速运动，在时刻t时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（v(t)o），则物体在时间间隔[T1,T2]内经过的路程可用速度函数表示为T2T2T1v(t)dt。

另一方面，这段路程还可以通过位置函数S（t）在[T1,T2]上的增量S(T1)S(T2)来表达，即 T1v(t)dt=S(T1)S(T2)

而S(t)v(t)。

对于一般函数f(x)，设F(x)f(x)，是否也有

baf(x)dxF(b)F(a)

若上式成立，我们就找到了用f(x)的原函数（即满足F(x)f(x)）的数值差F(b)F(a)来计算f(x)在[a,b]上的定积分的方法。

注：1：定理 如果函数F(x)是[a,b]上的连续函数f(x)的任意一个原函数，则

baf(x)dxF(b)F(a)

证明：因为(x)=xaf(t)dt与F(x)都是f(x)的原函数，故 F(x)-(x)=C（axb）

其中C为某一常数。

令xa得F(a)-(a)=C，且(a)=

aaf(t)dt=0 即有C=F(a)，故F(x)=(x)+F(a)

 (x)=F(x)-F(a)=f(t)dt

ax令xb，有f(x)dxF(b)F(a)

ab此处并不要求学生理解证明的过程

为了方便起见，还常用F(x)|ba表示F(b)F(a)，即

baf(x)dxF(x)|baF(b)F(a)

该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。

例3．汽车以每小时32公里速度行驶，到某处需要减速停车。设汽车以等减速度a=1.8米/秒刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？

2321000米

3600/秒8.88米/秒,刹车后汽车减速行驶,其速度为v(t)=v0at=8.88-1.8t当汽车停住时,速度v(t)=0,故从8.884.93秒 v(t)=8.88-1.8t=0解得t=1.8解:首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间。当t=0时，汽车速度v0=32公里/小时=于是在这段时间内,汽车所走过的距离是

s4.930v(t)dt4.9301(8.881.8t)dt=(8.881.8t2)21.90米,即在刹车后,汽车需走过

204.9321.90米才能停住.微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时它也提供了计算定积分的一种有效方法．微积分基本定理是微积分学中最重要的定理，它使微积分学蓬勃发展起来，成为一门影响深远的学科，可以毫不夸张地说，微积分基本定理是微积分中最重要、最辉煌的成果．