提公因式教案_提公因式法教案
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提公因式法教学设计
——李芸领
教学目标：
1、使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念及其与整式乘法的区别和联系。
2、使学生理解提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式。
3、通过学生自行探求解题途径，培养学生观察、分析和创新能力，深化学生逆向思维能力。
教学重点：
因式分解的概念及提公因式法。
教学难点：
正确找出多项式各项的公因式及分解因式与整式乘法的区别和联系。
教学过程设计：
一、复习提问
乘法对加法的分配律。
二、新课
1．新课引入：用类比的方法引入课题。
在学习分数时，我们常常要进行约分与通分，因此常常要把一个数分解因数(即分解约数)。例如，把15分解成3×5，把42分解成2×3×7。
前面，我们学习的整式除法，除式都是单项式，如果除式是多项式该如何进行运算呢？这就要求我们能将除式和被除式进行分解，然后进行约分，就象分数约分一样。这样就引出了“怎样将一个多项式写成几个单项式或多项式的积的形式”这样一个问题，这就是我们今天将要学习的“因式分解”。所以，因式分解是继续学生整式运算的需要，是一个工具，我们一定要把这个工具先准备好，将来才能更好地学习后续知识。那么，到底要怎样进行因式分解呢？在前面我们学习了整式的乘法，几个整式相乘的结果可能是一个多项式，那么一个多项式如何化成几个整式乘积的形式呢？下面我们就开始这一章知识的学习。
2．因式分解的概念：
请学生每人写出一个单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘的例子，并计算出其结果。(老师按学生所说在黑板写出几个。)如：m(a+b+c)＝ma+mb+mc 2xy(x-2xy+1)=2x2y-4x2y2+2xy(a+b)(a-b)＝a2-b2(a+b)(m+n)＝am+an+bm+bn(x-5)(2-x)＝-x2+7x-10 等等。
再请学生观察它们有什么共同的特点？ 特点：左边：整式×整式；右边：是多项式。可见，整式乘以整式，只要有一个因式是多项式，其结果就是多项式。下面，我们把上面的式子反过来写： ma+mb+mc＝ m(a+b+c)2x2y-4x2y2+2xy ＝2xy(x-2xy+1)a2-b2 ＝(a+b)(a-b)am+an+bm+bn ＝(a+b)(m+n)-x2+7x-10＝(x-5)(2-x)上面这些式子，从形式上看，就是把多项式变形为了一些整式的乘积的形式，我们就把这种多项式的变形叫做因式分解。
定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
从以上情况，我们发现，因式分解与整式是一个互逆的过程： 如：因式分解：ma+mb+mc＝m(a+b+c)。整式乘法：m(a+b+c)＝ma+mb+mc。
让学生说出因式分解与整式乘法的联系与区别。联系：同样是由几个相同的整式组成的等式。
区别：这几个相同的整式所在的位置不同，上式是因式分解；下式是整式乘法．两者是方向相反的恒等变形，二者是一个式子的不同表现形式，一个是多项式的表现形式，一个是两个或几个因式积的表现形式．
例
1、下列各式从左到右哪些是因式分解？(1)x2-x＝x(x-1)(√)(2)a(a-b)＝a2-ab(×)(3)(a+3)(a-3)＝a2-9(×)(4)a2-2a+1＝a(a-2)+1(×)(5)x2-4x+4＝(x-2)2(√)
因式分解的方法有很多，下面我们学习一种常见的，也是最基本的因式分解方法。
3．提公因式法：
我们看多项式：ma+mb+mc 请学生指出它的特点：各项都含有一个公共的因式m，这时我们把因式m叫做这个多项式各项的公因式．
注意：公因式是各项都含有的公共的因式． 又如：a是多项式a2-a各项的公因式． ab是多项式5a2b-ab2各项的公因式．
2mn是多项式4m2np-2mn2q各项的公因式． 根据乘法的分配律，可得 m(a+b+c)＝ma+mb+mc，逆变形，便得到多项式ma+mb+mc的因式分解形式 ma+mb+mc＝m(a+b+c)．
这说明，多项式ma+mb+mc各项都含有的公因式可以提到括号外面，将多项式ma+mb+mc写成m(a+b+c)的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
显然，由定义可知，提公因式法的关键是如何正确地寻找公因式。让学生观察上面的公因式的特点，找出确定公因式的万法：
(1)公因式的系数应取各项系数的最大公约数：
(2)字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取小次数。例
2、指出下列各多项式中各项的公因式：(1)ax+ay+a
(a)(2)3mx-6mx(3mx)(3)4a2+10ah
(2a)(4)x2y+xy2
(xy)(5)12xyz-9x2y2
(3xy)
例
3、把8a3b2-12ab3c分解因式。
分析：分两步：第一步，找出公因式；第二步，提公因式。先引导学生按确定公因式的方法找出多项式的公因式4ab2。解：8a3b2-12ab3c=4ab2·2a2-4ab2·3bc=4ab2(2a2-3bc)． 说明：
(1)应特别强调确定公因式的两个条件以免漏取。
(2)开始讲提公因式法时，最好把公因式单独写出。①以显提醒；②强调提公因式；③强调因式分解。
例
4、把3x2-6xy+x 分解因式．
分析：先引导学生找出公因式x，强调多项式中x=x·1． 解：3x2-6xy+x =x·3x-x·6y+x·1 ＝x(3x-6y+1)说明：当多项式的某一项恰好是公因式时，这项应看成它与1的乘积，提公因式后剩下的应是1，1作为项的系数通常可以省略，但如果单独成一项时，它在因式分解时不能漏掉，这类题常常有些学生犯下面的错误，3x2-6xy+x=x(3x-6y)，这一点可让学生利用恒等变形分析错误原因．还应提醒学生注意：提公因式后的因式的项数应与原多项式的项数一样，这样可以检查是否漏项。课堂练习一：
把下列各式分解因式：(l)2πR+2πr；(2)3x3+6x2；(3)21a2+7a；(4)15a2+25ab2；(5)x2y+xy2-xy．
例
5、把-4m3+16m2-26m分解因式．
分析：此多项式第一项的系数是负数，与前面两例不同，应先把它转化为前面的情形便可以因式分解了，所以应先提负号转化，然后再提公因式，提“－”号时，注意添括号法则。解：-4m3+16m2-26m ＝-(4m3-16m2+26m)＝-2m(2m2-8m+13)． 说明：通过此例可以看出应用提公因式法分解因式时，应先观察第一项系数的正负，负号时，运用添括号法则提出负号，此时一定要把每一项都变号；然后再提公因式。课堂练习二：
把下列各式分解因式：(1)-15ax-20a；(2)-25x8+125x16；(3)-a3b2+a2b3；(4)-x3y3-x2y2-xy；(5)-3ma3+6ma2-12ma；
三、小结
1．因式分解的意义及其概念
2．因式分解与整式乘法的联系与区别 3．公因式及提公因式法
4．提公因式法因式分解中应注意的问题
四、作业
教材 P．167中 1；P．170中习题15.4中的第1题。
五、板书设计 标题
1、因式分解定义
4、例题
2、公因式定义
5、小结
3、提公因式法
6、作业
