曲线轨迹方程的求法教案_曲线的轨迹方程的求法

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曲线的轨迹方程的求法

高二年级数学组 王莉

一、教学目标

（1）使学生掌握常用动点的轨迹以及求动点轨迹方程的常用技巧与方法。（2）通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的归纳和介绍，培养学生综合运用各方面知识的能力。

（3）通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的介绍，使学生掌握常用动点的轨迹，为学习物理等学科打下扎实的基础。

二、教学重难点

1、重点：求动点的轨迹方程的常用技巧与方法。

2、难点：各种方法的灵活运用。

三、教学工具

（1）教师自制的多媒体课件、三角板，圆规（2）上课环境为多媒体大屏幕环境

四、教学方法

数形结合、合作探究

五、教学过程

1、高考导向。求的轨迹方程是解析几何的的基本问题，是高考中的一个热点和重点，近几年高考试题中以综合问题出现较多。

2、诊测补偿

（1）解析几何要要解决的两个基本问题是什么?（2）什么是动点的轨迹?（3）求动点的轨迹方程的常用方法 有哪些?

3、求曲线方程的步骤：

（1）建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y）表示曲线上任意一点M的坐标；（2）写出适合条件p的点M的集合P={M︱p（M）}；（3）用坐标表示条件p（M）,列出方程f（x,y）=0；（4）化方程f（x,y）=0为最简形式；（5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上。

4、求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法（待定系数法、相关点法、参数法。

题型一 直接法求曲线方程

1、如图已知F(1,0)，直线l：x＝－1，P为平面上的动点，过点P作l的垂线，垂足为Q，且 解：设

学后反思 当动点所满足的条件本身就是一些几何量的等量关系或这些几何条件简单明了易于表达时，只要将这种关系“翻译”成含x、y的等式就能得到曲线的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称之为直接法。题型二 利用定义或待定系数法求曲线方程

2、已知圆，求动点P的轨迹方程。

C1x3: C1及圆

2y12 和圆

C2x3：

2y29

动圆M同时与圆

C2相外切.求动圆圆心M的轨迹方程。

分别外切于点A和点B，解: 设动圆M与圆 C1及圆

C2 ,半径为R，则 由两圆相切的定义知，这表明动点M到两定点

C1、C2的距离的差是常数2.根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支（点M到到

C2 的距离大，C1的距离小），2b8 其中a=1,c=3,则

y2x18则其轨迹方程为(x≤-1).2学后反思

若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义，如圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可以直接根据定义求出动点的轨迹方程: 首先要结合圆锥曲线的定义，分析出曲线的类型，再按定义写出标准方程。

（例1）题型三 相关点法求曲线方程

（例2）

3、以原点为圆心，以r=2为半径的圆，过圆上任意一点p作x轴的垂线，求中点M的轨迹方程。

解：过圆上任意一点p向x轴作垂线，垂足为Q

即 学后反思

对涉及较多点之间的关系问题，可先设出它们各自的坐标，并充分利用题设建立它们之间的相关关系；再对它们进行转化和化简，最后求出所求动点坐标所满足的方程.这种根据已知动点的轨迹方程，求另外一点的轨迹方程的方法称为代入法或相关点法.题型四 用参数法求轨迹方程

2y4x的顶点O引两条互相垂直的直线分别与抛物线相交于A、4、过抛物线B两点，求线段AB的中点P的轨迹方程.解： 由题意知，两直线的斜率都存在.设直线OA的斜率为k，则OA:y=kx,OB: y1xk

ykx2y4x由 得1yxky24x同理由 得12x22kky21kk 设P(x,y),则

22y2x8y2x8 由②^2-2×①，得 即2y2x8 故线段AB的中点P的轨迹方程为学后反思

本题运用了参数法求轨迹.当动点P的坐标x、y之间的直接关系不易建立时，可适当地选取中间变量t,并用t表示动点的坐标x、y，从而得到动点轨迹的参数方程

xftygt 消去参数t，便可得到动点P的轨迹方程.其中应

注意方程的等价性和参数t与动点P(x,y)关系的密切性.（练习1）

（例4）

5、课堂练习

ABCDA1B1C1D1中, 是侧面 BB1C1C内一动点,若P到直线 BC1、如图,正方体

C1D1的距离相等,则动点 的轨迹所在的曲线是()与直线

A.直线 B.圆 C.双曲线 D.抛物线

2、等腰三角形ABC中，若一腰的两个端点分别为A(4,2)、B(－2,0)，A为顶点，求另一腰的一个端点C的轨迹方程。

3、已知一条直线 L和它上方的一点F ,点F到L的距离是2,一条曲线也在L的上方,它上面的每一个点到 F的距离减去到L的距离的差都是2,建立适当地坐标系,求这条曲线的方程。

6、小结

求曲线的方程常用的几种方法

（1）直接法（2）定义法(待定系数法)（3）相关点法（4）参数法

六、作业

习题3-4 A1、2、4 B、2