初中数学竞赛之数的整除教案_初中数学竞赛教案

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二． 数的整除

设有两个整数a,b(b0)，如果存在另一整数q，使得aqb，则称a能被b整除；或称b能整除a；

b

若b能被a整除，我们称a是b的倍数，b是a的约数，并记作b|a.若a不能被b整除，则记作aŒ我们曾学过下述有关整除的判别法则：

（1）被2或被5整除的数的特征是：末位数字能被2或5整除（2）被4或25整除的数的特征是：最后两位数字能被4或25整除（3）被8或125整除的数的 特征是：最后三位数字能被8或125整除（4）被3或9整除的数的特征是：各位上的数的和能被3或9整除

（5）被11整除的数的特征是：奇数位数字和与偶数位数字和的差能被11整除 1.判断下列各数那些可以被4整除？那些可以被25整除？

457565

456575

184062

186240

333325436 2.789789、456456456456、67896789、***819能被11整除吗？

在解题过程中我们常用到下述性质 性质1 若ab，bc，则ac.证明：a|b,b|c

存在正整数p和q，使得bpa，cqb

代入可得cq(pa)(qp)a

a|c

性质2 若证明：a|b,a|c，则a|(bc)

a|b,a|c

 存在正整数p和q，使得bpa，cqa  bcpaqa(pq)a

 a|(bc)

同理我们可以得到：若a|b,a|c，则a|(k1bk2c)，其中k1,k2为整数 性质3 若a,b互质，且abc，则a|c 性质4 若a,b互质，且 a|c,b|c，则ab|c 例1.已知九位数32a35717b能被72整除，求a,b

提示：能被72整除则一定既能被8整除又能被9整除

练习1： 已知七位数13xy45z能被792整除，求x,y,z

例2.|9x5y）已知7|(13x8y)，证明：7（证明：因为9x5y5(13x8y)7(8x5y)又又 7|(13x8y)， 7|5(13x8y)

7|(8x5y)

7|[5(13x8y)7(8x5y)]

|9x5y）即7（注：对于“已知式子A能被数p 整除求证式B能被p”类题目，其思路为：将B表示成被7整除的代数式的形式即可；比如此题，就可以将B表示为：Bk1A7C（其中C为含字母x、y的整式）的形式。其问题在于如何找出k2和C，我们可以采取以下方法：

我们不妨假设9x5yk1(13x8y)7(k2xk3y)

我们知道对任意的x,y 等式左右两边恒等，所以化简成MxNy0的形式后各系数为零 可得：k213k1958k1，k3

由于k2,k3都是整数，所以简单试验可得：

k15,k28,k35

进而得到：9x5y5(13x8y)7(8x5y)

|9xy5）y8 吗？)

思考：反过来，已知7（，你能证明7|(1x3练习2：已知x,y为整数，17|(2a3b)，证明：17|(9a5b)

练习3 已知x,y为整数，且5|(x9y)，证明：5|(8x7y)

练习4 已知a,b,c,d,m,n为整数，n|(mab)且n|(mcd)，证明：n|(adbc)