点到直线的距离教案_点到直线距离公式教案

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作者： 来源： 发布时间：2009-3-7 16:45:40 发布人：

《点到直线的距离》教案

《点到直线的距离》教案

首都师范大学附属桂林实验中学高中数学组 叶景龙

课题:点到直线的距离

教材:人教版高二（上）第七章第三节第4课时 教材分析： 地位与作用

本节对“点到直线的距离”的认识，是从初中平面几何的定性作图，过渡到解析几何的定量计算，其学习的平台是学生已掌握了直线倾斜角、斜率、直线方程和两条直线的位置关系等相关知识．对“点到直线的距离”的研究，为以后直线与圆的位置关系和圆锥曲线的进一步学习奠定了基础，具有承前启后的重要作用． 教学目标：

1、至少掌握点到直线的距离公式的一种推导方法，能用公式来求点到直线距离;

2、通过自学教材上利用直角三角形的面积公式的证明过程，培养学生的数学阅读能力；

3、让学生了解和感受探索问题的方法，以及用联系的观点看问题．在探索问题的过程中体验成功的喜悦．

教学重点:点到直线距离公式及其应用． 教学难点: 点到直线的距离公式的推导 学情分析与学法指导:

高二年级学生已掌握了三角函数、平面向量等有关知识，具备了一定的利用代数方法研究几何问题的能力．根据我校学生生源结构,既有一等的阳光生,也有七等的后进生,思维差异比较大,要两边兼顾,本课采用由浅入深启发式讲解法、类比发现式教学法.教学时间：45分钟 教学过程：

一、创设情境,提出问题(3分钟)

设想:如图临桂县汽车站因业务需要,欲建一条到图中铁路

经过测量，若按照部门内部设计好的坐标图（即以金源太阳城为原点），得知汽车站的坐标为P（2，1），而铁路所在的直线方程为 ．则绿色通道的最短距离是多少? 这个实际问题要解决，要转化成什么样的数学问题？ 学生得出就是求点到直线的距离．教师提出这堂课我们就来学习点到直线的距离，并板书写课题：点到直线的距离．

二、解决问题 1．问题再现(8分钟)

多媒体显示

设计意图:让学生感受数学来源于生活,感受数学无处不在,激发学生学习的兴趣,为引入正题做准备 初中知识回顾!

请5位学生上黑板练习（第（4）题请一位运算能力强的同学，其余学生在下面自己练习，每做完一题立即讲评）,教师巡堂检查.教师评价：此方法思路自然，但是运算繁琐．并多媒体展示求解过程． 的绿色通道,请在图中标出“通道”位置,使“通道”最短。实际的例子

多媒体显示：假定在直角坐标系上，已知一个定点P（x0,y0）和一条定直线l： Ax+By+C=0，那么如何求点P到直线l的距离d？(请学生思考并回答)

学生1：先过点P作直线l的垂线，垂足为Q，则|PQ|就是点P到直线l的距离d；然后用点斜式写出垂线方程，并与原直线方程联立方程组，此方程组的解就是点Q的坐标；最后利用两点间距离公式求出|PQ|。

接着，教师用投影出示下列5道题(尝试性题组)，(1)求P（2 ,1）到直线l：x=3的距离d;（答案：d=1）(2)求P（x0,y0）到直线l：By+C=0（B≠0）的距离d；（答案：）

(3)求P（x0,y0）到直线l：Ax+C=0（A≠0）的距离d；（答案：）

(4)求P（2 ,1）到直线l： 的距离d；（答案：）

(5)求P（x0,y0）到直线l：Ax+By+C=0（AB≠0）的距离d。第（1）容易、（2）和（3）题虽然含有字母参数，但由于直线的位置比较特殊，学生不难得出正确结论；第（4）题虽然运算量较大，但按照刚才学生1回答的方法与步骤，也能顺利解出正确答案；第（5）题虽然思路清晰，但由于字母参数过多、运算量太大行不通。学生们陷入了困境。

2．启发引导，学生走出困境(2分钟)

教师：根据以上5位学生的运算结果，你能得到什么启示？ 学生2：当直线的位置比较特殊（水平或竖直）时，点到直线的距离容易求得，而当直线是倾斜位置时则较难；含有多个字母时虽然想起来思路很自然，但具体操作起来因计算量很大而无法得出结果。

教师：那么，练习（5）有没有运算量小一点的推导方法呢？我们能不能根据刚才的第（2）、（3）的启示，借助水平、竖直情形和平面几何知识来解决倾斜即一般情况呢？ 教师：能否用其它方法，不求点Q的坐标，求线段PQ的长度?

学生：放在三角形---特殊三角形---直角三角形中． 教师：如何构造三角形？第三个顶点选在什么位置？ 学生：可过P点做x,y轴的平行线与直线 的交点R、S.请同学们思考怎样求点到直线的距离。

3．点到直线的距离公式的推导过程(17分钟)学生思考回答下列想法：

方法1:利用直角三角形的面积公式(学生自学)

如图1，过点P作x、y轴的垂线分别交直线l于S、R，则由三角形面积公式可得

方法2:利用余弦值推导

指导学生自学教材的证明过程，培养学生的数学阅读能力和获取信息的能力．

解析几何与三角函数结合 如下图,过P作PM⊥x轴交l于M，构造直角△PQM,怎样用|PM|表示|PQ|？，点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离公式为：

方法3:利用向量推导

已知直线 的法向量，则，如何选取法向量？直线的方向向量，则法向量为，或，或其它．由师生一起分析得出取 ＝ ． 教师板演：，由于点Q在直线上,所以满足直线方程 ,解得

4．点到直线的距离公式的应用(13分钟)用公式解决课题引入时提出的问题.例1 求点 到下列直线的距离： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 分析：⑴

可能会有学生在代人公式计算时，忘掉绝对值符号．教师要给予纠正，强调距离是一个非负数． ⑵

教材上的解法是结合图形直接得到点到直线的距离，也可能会有学生是直接代人公式计算，教师指出对于 或 的特殊情况，一般结合图形直接得到结论． ⑶

部分学生可能会对代入公式后计算得0这一结果感到困惑，教师要引导学生思考此时点与直线的位置关系，指出当点落在直线上时公式仍然成立． ⑷

在补充的问题⑷中所给出的直线方程不是一般式，所以在代人公式计算前，学生必须将直线方程化为一般式，以便确定

教师评析：向量是一种很好的数学工具，和解析几何结合应用是高中数学知识的交汇点．而且这种方法在今后解析几何与向量结合的题目中，用坐标联系转化是常用方法．

与开题呼应！

公式的巩固,强调运用公式时的注意事项.系数，从而达到强调公式运用前提的目的．

教师：使用点到直线的距离公式的前提条件是把直线的方程化成一般式方程，如果给出的直线方程不是一般式方程，应先将方程化成一般式，以便确定系数 的值，这一点对于直线方程中含参数的问题尤为重要．

例2 ⑴已知点 到直线 的距离为，求 的值；⑵已知点 到直线 的距离为，求 的值． 教师：如何求实数 的值？ 解：⑴

⑵

教师：这两问直线方程中参数 的几何意义是什么？ 学生：⑴中 表示直线的斜率； ⑵中 表示直线在 轴上的截距． 教师：两个小问的几何意义是什么？

学生：⑴点 到两条直线的距离相等，所以点 在两条直线所成角的角平分线上；⑵所得的两条直线互相平行且距离为2．（教师利用几何画板进行数学实验）

三、课时小结(2分钟)本课主要学习了以下内容：

⑴ 点到直线的距离公式的推导中不同的思路：利用直角三角形的面积公式、利用余弦值、利用平面向量； ⑵ 点到直线的距离公式：点 到直线（其中）的距离 说明：对于 的特殊情况时公式仍然适用． ⑶ 应用点到直线的距离公式的前提条件．

四、课后作业

1、课本习题7.3的第13题----16题；

2、总结写出点到直线距离公式的多种方法．

能力提升,求参数 的值及几何意义.教师引导学生归纳总结本节课所学习的主要内容．

板书设计

课题：点到直线的距离

推导点到直线的距离方法:

方法1: 利用直角三角形的面积公式推导

方法2: 利用余弦值推导 方法3:利用向量推导 点到直线的距离:

教学反思

本节课花了大量的时间在思考多种方法推导点到直线的距离公式,在课堂上展示了四种方法,让学生至少掌握一种推导方法,主要注重培养了学生的思维,所以练习的量少了点,对于公式运用的巩固还有待加强.公式的应用: 例1

例2

课堂小结

课后作业