趣味数学课教案[1]_趣味数学课教案

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趣味数学教案

科 目：数学 课 时：一课时

教学目标：培养对数学的兴趣

教学重点：让学生将课堂的知识点运用到趣味问题中

教学拓展：让学生了解一些中世纪数学难题以及一些后来的解法 教具准备：多媒体，黑板，笔 学具准备：笔，笔记本，尺规

教学过程：

等于100

只要把算术符号放在数字之间的适当位置，就能使下列的算式成立：2 3 4 5 6 7 8 9=100

四胞胎

请说明，如何将图中的形状分成完全相同的4个部分．

请把图形X与Y各分成完全相同的两半

硬币游戏

如图1所示，将6个硬币排成十字形。试着移动一个硬币，使得纵横两列上各有4个硬币。比利的如意算盘

当比利听到他最喜欢的巧克力SCRUNCH生产厂决定举办回馈大赠送时，心中非常高兴。这家厂宣布只要在赠奖活动期间内集满八个SCRUNCH巧克力的外包装，就可以在经销处免费兑换一块巧克力。

于是比利就到学校四处向同学搜集，终于在赠奖截止前搜集到71个外包装。

请问比利总共可以换到多少块免费的巧克力

消失的直线

在一张纸上仔细画出12条直线，每条线长3cm，间距2cm，如图1所示。

然后将第一条线顶端和最后一条线末端连成直线，沿此线将这张纸裁成两张。

现在沿着切开的边缘，如图2所示移动这两张纸，使直线重合。

现在纸上有几条直线？你如何解释其中的矛盾？

火柴棒正方形

从如图排列的15根火柴棒中移去3根，使得只留下3个正方形．从如图的15根火柴棒中移去2根，使之成为3个正方形．(正方形的大小不必相同．)

渡河问题

这是个老掉牙的谜题．故事是一个卖艺人到乡下旅行，带着一只狼、一只羊与一棵包心菜．走到河边，发现只有一只小船，每次只能随身带一只狼，或一只羊，或一棵包心菜渡河．

可是他不敢让狼与羊单独在一起，或是让羊与包心菜单独在起，因为狼会吃掉羊，羊会吃掉包心菜．经过一番思考，他想出办法，用小船把自己以及所有的财产都安全运到对岸．他是如何做到的？

聪明的牛奶商

一位牛奶商只有容量为5升与3升的两个瓶子，可供他从牛奶罐中量取客户所需的牛奶．

请问如何量出1升牛奶，而且不得浪费任何牛奶？

聪明的园丁

一位园丁想要充分利用他的植物．有一天，当他在设计攻瑰花床时，他发现可以种植7丛玫瑰，其中每3丛玫瑰排成一列，总共有6列．请问他是如何做到的？

园丁非常得意，想找出其他的组合方法．后来他发现还可以种植10丛玫瑰，每4丛玫瑰排成一列，总共有5列．

思考时间

(1)在3点12分时，时钟的长短针所夹的角度是多少？

(2)在每一个小时中，时针与分针会在某一点重合，当时针与分针在7与8之间重合时，此时的精确时间是多少？

生日巧合阿雷博士是一所大型综合中学的校长，他注意到在所有班级中有一半以上的班，其班上至少有两个学生的生日是同一天．他认为既然一年是365天，所以只有在一个班上是366个学生时，才一定会有两个学生的生日相同．

他知道学校中平均每班有30个学生，所以他以为生日相同的学生数应该是项纪录．爱出风头的他预备将此纪录发给各报社，以及《吉尼斯纪录大全》．幸好他的同事安姬在听到他的打算后及时阻止，才没闹笑话．安姬告诉他，这种生日巧合并不足以为奇．她的理由何在？在一个有30名学生的班级中，至少有两个人生日相同的概率是多少？

60°角折叠法

要折出180°、90°、45°与22.5°角并不困难，因为这只需要反复对分一个角，可参见第3题．但要得到60°或30°角，却需要三等分一个角．其实这也可以很轻松地做到，参见图1．取一张长方形纸，将AB折至DC，作出一条等分这张纸的折线MN；再折纸使折线通过D，且A在折线MN上．此时AD与DC的夹角为30°，而折线LD与DC的夹角为60°．

如图2，如果再将纸通过L点而折至与BC平行，然后先不把纸打开，沿LD折叠，就可以折出等边三角形，如图3中的三角形LPD．

运用已有的折线，很容易折出或画出其他的直线而作出一系列的等腰三角形，或是一些立体形状的展开图(图4)．

圆的半径

长方形ABCO的一个顶点位于圆心O，另一个顶点A距离圆周2cm。A与C的距离为7cm。

圆的半径是多少？

勾股定理再探

勾股定理证明方法之一的培利加剖分(Perigal’s diection)在《数学乐园·茅塞顿开》中已经描述过，但因为勾股定理是相当重要的定理，故在此再特别举出一些可行的证明方法，供读者做比较．

下面列举的前3个方法非常类似，而且都需要利用到4个全等的直角三角形．请将它们从卡片中剪下，并且实际练习看看．

(1)如图1所示，将4个三角形排成边长为a＋b的正方形4BCD，使中间留下边长c的一个正方形洞(阴影部分)．

画出正方形ABCD．现在移动三角形至图2所示的位置中，于是留下了边长分别为a与b的两个正方形洞．这么一来，图1和图2中的阴影部分面积必定相等，所以

c2=a2+b2

(2)此证明以图1为基础：

正方形ABCD的面积=阴影部分正方形的面积+4个三角形的面积

得出 a2+b2=c2

(3)这次将4个直角三角形的直角部分朝内放，排成一个边长为c的正方形PQRS(见图3)，中间的洞(阴影部分)则是边长为b－a的正方形．

正方形PQRS的面积=阴影部分正方形的面积+4个三角形的面积

得出 c2=a2+b2

(4)此证明于1860年首次发表，同样也是着眼于使面积相等的概念．这题与上述的第一、第二个方法有颇多类似之处．

正方形ABNL的面积

=正方形KCOM的面积－4个三角形的面积

=正方形DFHI的面积－4个三角形的面积

=正方形DFHI的面积－长方形ACBI的面积－长方形CEFC的面积

=正方形ADEC的面积+正方形BCGH的面积故可得

c2=b2+a2

(5)介绍了许多几何变换的方法后，这里要以有趣的切变换(shearing transformation)为基础来证明勾股定理．参见图 5．

将以BC为边的正方形斜切至右方，并将以AC为边的正方形向上切至与直线CD相连．(要记住，切变换使面积保持不变．)然后再将图形沿直线DC切换，直到图形抵达直线AB为止，这时图形变成正方形ABEF．

以AB为边的正方形面积=以BC为边的正方形面积+以AC为边的正方形面积

所以 c2=a2+b2

(6)此证明有时会利用相似三角形来解释，但参考图6用三角函数来证明会更容易些．

AB=AN+NB c=b cosθ+a cosφ

将上式等号两边同时乘以c，则得

c2=b2+a2

(7)勾股定理最令人满意的证明之一就是用向量来证明，参见图7所示．

c2=c·c=(a+b)·(a+b)=a·a+2a·b+b·b=a2+b2

因为 a⊥b

所以a·b=0