高三数学教案：第3讲___不等式问题的题型与方法_高三数学不等式题型

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高考网www.daodoc.comxn1n11xCnx2n21x2.....学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！

高考网www.daodoc.comn2x21xn2Cnn1x1xn1Cnx1n2Cnx2n4......Cnn21xn4Cnn11xn2

11n21112n1n4n2C(x)C(x)....C(x)nnnn2n4n22xxx122(C1nCn...Cn2n1)CnCn...Cn12n122

n

例15．（2001年全国理）己知i,m,n是正整数，且（1）证明：niAmmiAn（2）证明：1m1n n1imn

iim证明：（1）对于1im,有Amm.(m1)......(mi1),同理AnniiiAmmiimmm1mm2m......mi1m

nn1n2ni1......由于mn,对整数k1,2,......,i1,有 nnnnm,AnniinknmkAmmiiiii即mAnnAm

nni（2）由二项式定理有(1m)(1imn),而CnmiimCi0iinm,(1n)iiminCi0iiimii,由(1)知mAnnAm

iiAni!ii,CmoiAmi!imcnnCm(1imn)

o11i因此mCni2nimi2iiooinCm,又mCnnCm1,mCnnCmmn,mCn0

mi(min)mCnnCm即(1m)(1n)。

i0i0iinm

七、强化训练

1．已知非负实数x，y满足2x3y80且3x2y70，则xy的最大值是（）

A．7B．

C．

2D． 3

382．已知命题p：函数ylog0.5(x2xa)的值域为R，命题q：函数y(52a)

2x

是减函数。若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是

（）

A．a≤1 B．a

axx2x32＞0 4．求a，b的值，使得关于x的不等式ax2+bx+a2-1≤0的解集分别是：

(1)[-1，2]；(2)(-∞，-1]∪[2，+∞)；(3){2}；(4)[-1，+∞)． 5． 解关于x的不等式1a2xaax(a0且a1)6．（2002北京文）数列x由下列条件确定：xn1a0,xn11a,nN xn2xn16 学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！

高考网www.daodoc.com（1）证明：对于n2,总有xna,（2）证明：对于n2,总有xnxn1．

7．设P=(log2x)2+(t-2)log2x-t+1，若t在区间[-2，2]上变动时，P恒为正值，试求x的变化范围．

8．已知数列an的通项为an,前n项和为sn,且an是sn与2的等差中项，数列b1=1，点P（bn,bn+1）在直线x-y+2=0上。Ⅰ）求数列an、bn的通项公式an,bn Ⅱ）设bn的前n项和为Bn, 试比较

1B11B2...1Bn与2的大小。

bn中，Ⅲ）设Tn=b1a1b2a2...bnan,若对一切正整数n,Tnc(cZ)恒成立,求c的最小值

八、参考答案

1．解：画出图象，由线性规划知识可得，选D 2．解：命题p为真时，即真数部分能够取到大于零的所有实数，故二次函数x22xa的判别式44a0，从而a1；命题q为真时，52a1a2。

若p或q为真命题，p且q为假命题，故p和q中只有一个是真命题，一个是假命题。

若p为真，q为假时，无解；若p为假，q为真时，结果为1

（1）当a1时，由图1知不等式的解集为xxa或1x3

（2）当1a3时，由图2知不等式的解集为（3）当a3时，由图3知不等式的解集为xx1或ax3

xx1或3xa

4．分析：方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互交通．

解(1)

由题意可知，a＞0且-1，2是方程ax2+bx+a2-1≤0的根，所以学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！

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(3)由题意知，2是方程ax2+bx+a2-1=0的根，所以

4a+2b+a2-1=0．

① 又{2}是不等式ax2+bx+a2-1≤0的解集，所以

(4)由题意知，a=0．b＜0，且-1是方程bx+a2-1=0的根，即-b+a2-1=0，所以

a=0，b=-1．

说明：二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间存在着密切的联系．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间相互联系相互渗透，并在一定条件下相互转换。

5．分析：在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，数形结合，则可将不等式的解化归为直观，形象的图象关系，对含参数的不等式，运用图解法，还可以使得分类标准更加明晰。解：设tax，原不等式化为1t2at(t0)设y1一坐标系中作出两函数图象

y1y2,故（1）当0a1时,0t1,即0a当1a2时,如右图,解方程2x1t(t0),y2at，在同

21x0,)

21tat得t1,222a2a22（2）a2a2ta2a2x(log22aa

a2aa22,log2)（3）当a2时，原不等式的解集为φ

综上所述，当a(0,1)时，解集为0,）；当a(1,2)时，解集为

2a(log2a22,log2a2a22);当a2,)时，解集为φ。

6．证明：（1）x1a0及xn112(xnaxn)知xn0,从而xn112(xnaxn)xnaxna(nN)学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！

高考网www.daodoc.com 当n2时xna成立

12axn1a（2）当n2时，xn2a0,xn1(xn),xn1xn2xn(xn)

=12axnxn0.n2时,xnxn1成立

7．分析：要求x的变化范围，显然要依题设条件寻找含x的不等式(组)，这就需要认真思考条件中“t在区间[-2，2]上变动时，P恒为正值．”的含义．你是怎样理解的？如果继续思考有困难、请换一个角度去思考．在所给数学结构中，右式含两个字母x、t，t是在给定区间内变化的，而求的是x的取值范围，能想到什么？

解：设P=f(t)=(log2x-1)t+log22x-2log2x+1．因为 P=f(t)在top直角坐标系内是一直线，所以t在区间[-2，2]上变动时，P恒为正值的充要条件

解得log2x＞3或log2x＜-1．

说明：改变看问题的角度，构造关于t的一次函数，灵活运用函数的思想，使难解的问题转化为熟悉的问题．

8．分析：本题主要复习数列通项、求和及不等式的有关知识。

n略解：Ⅰ）an2,bn2n1

Ⅱ)Bn=1+3+5+„+(2n-1)=n2

1B11B21121n...1231B11Bn1121212132...1n122 12..1B2(n1).n...1Bn1(12)(1213)...(1n11n)

2 Ⅲ)Tn=

121212123222325232...521242n1n2①

2n1222n1Tn...123②

22n①-②得Tn1223...2n12n1学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！

高考网www.daodoc.com Tn312n22n12423n3 737162 又T41232224满足条件Tnc的最小值整数c3。