导数的定义及可导条件教案_导数的定义教案

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导数

一、导数的相关概念

1、导数的定义：

f/(x0)limx0f(x0x)f(x0)

x例

1、用导数的定义求下列函数的导数（1）f(x)1（2）f(x)

2、单侧导数（左、右导数）：（1）、左导数：f(/x22x

x0)limx0x0)limx0f(x0x)f(x0)

xf(x0x)f(x0)

x（2）、右导数：f(/2x2x(x1)例

2、求函数f(x)在点x1处的左导数和右导数。

4x1(x1)

3、函数yf(x)在点xx0处可导的充要条件：左、右导数均存在且相等，即f/(x0)f/(x0)

例

3、已知函数f(x)x，试判定f(x)在x0是否可导？若可导，求出其导数值；若不可导数，请说明理由。

4、导数的几何意义：

曲线yf(x)上点（x0,f(x0)）处的切线的斜率。因此，如果yf(x)在点x0可导，则曲线yf(x)在点（x0,f(x0)）处的切线方程为 yf(x0)f/(x0)(xx0)例

3、求函数f(x)

注意：

导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值，它们之间的关系是函数yf(x)在点x0处的导数就是导函数f(x)在点x0的函数值，通常记作例

5、求函数f(x) /x21在点x3处的切线方程。

y＇x或

x0f(x)。

0'1的导数及其在x1处的导数值。x5、可导与连续的关系

如果函数yf(x)在点xx0处可导，那么函数yf(x)在点x0处连续，反之不成立.函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件；即函数在某一点可导则在该点一定连续，但函数在某点连续不一定可导。

x(x0）例

4、已知函数yx，试判断yf(x)在x0处的连续性和可导性。

x(x＜0)

6、求函数yf(x)导数的一般方法：

（1）、求函数的改变量yf(xx)f(x)；

yf(xx)f(x)； xx‘y/（3）、取极限，得导数y＝f(x)lim。

x0x（2）、求平均变化率例

5、求y

例

6、已知yx32x1，求y，y

＇x2的导数及其在点x1处的导数值。

＇x2。

二、几种常见函数的导数

1、C'0(C为常数)

例如：求下列函数的导数：（1）y0；（2）ya(aR)

2、(x)'nxnn1(nQ)例如：求下列函数的导数：（1）yx2；（2）yx3；（3）yx3、(sinx)'cosx4、(cosx)'sinx5、(lnx)'1 x1 例如：求下列函数的导数：（1）ylogx

3xlna6、(logax)''x7、(x)e e1xxxy

8、()alna例如：求下列函数的导数：（1）（2）y()3；a'x

2三、函数的和、差、积、商的导数

1、法则1 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，即(uv)'u'v'

2、法则2 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即(uv)'u'vuv'

3、法则

3两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方，即

uu'vuv'(v0)2vv例

7、求下列函数的导数（1）y（2）y'xx3sinx xx3

324（3）y2x3x5x4

22（4）y(2（5）y3（6）y5x23)(3x2)

xxcosx

sinx2xcosx9x10（7）yx12sinx

（8）yxcosx

（9）ycotx（10）y1x 3x1x2（11）y

sinx

四、复合函数的导数

1、复合函数：由几个函数复合而成的函数，叫复合函数。由函数yf(u)与u(x)复合而成的函数一般形式是yf[(x)]，其中u称为中间变量。

2、复合函数的导数：设函数u=(x)在点x处有导数u′x=′(x)，函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数y′u=f′(u)，则复合函数y=f((x))在点x处也有导数，且y'xy'uu'x 或f′x((x))=f′(u)23′(x)。

例

8、试说明下列函数是怎样复合而成 ⑴y(2x)；

⑵ysinx； ⑶ycos(x)；

24⑷ylnsin(3x1)．

例

9、写出由下列函数复合而成的函数 ⑴ycosu，u1x；

⑵ylnu，ulnx． 例

10、求下列函数的导数

24x3（1）y2

xcosx（2）yln(2x3x1)（3）ylg1x 22（4）yln2x1x

（5）ylnlnlnx（6）ylnx（7）ylog2a1x

（8）y(2x1)5（9）f(x)sinx2

（10）ysin2(2x3)

（11）y3ax2bxc

（12）y=51xx 1（13）ysin2x

（14）y(2x23)1x2

（15）y3x125x215x1

（16）yx23x22sin3x（17）yxlnxn

（18）ye2xcos3x

（19）ya5x

（20）yesinx；

（21）yln12x

（22）y2e2x；

2x（23）ylnee2x1

10（25）yeln3．

x（24）yx2sinx；

2（26）ye2xsin3x

（27）ye2xsin3x

（28）yxsinx

（29）y32xlg1cos2x（30）y2xx

（31）y(x1)(x2)(x3)(x100)(x100)

（32）y(x1)(x2

(x3)(x4)例

11、利用导数证明

Cn2Cn3CnnCnn2123nn1，其中nN．

同步练习

1、数yfx在xx0处可导是它在xx0处连续的（）A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

2、在曲线y2x21的图象上取一点(1,1)及邻近一点1x,1y，则A.4x2(x)

B.42x

C4x(x)

D.4x 22y等于（）x3、已知命题p:函数yf(x)的导函数是常数函数；命题q:函数yf(x)是一次函数，则命题p是命题q的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

4、设函数f(x)在x0处可导，则lim

A.f(x0)‘(x0h)fx0h等于（）x0h‘‘ B.0

C.2f(x0)

D.2f(x0)

5、设fxx1x，则f(0)等于（）

‘A.0

B.C.1

D.不存在6、若曲线上每一点处的切线都平行于x轴，则此曲线的函数必是___。

7、曲线yx3在点P(2,8)处的切线方程是___________。

8、曲线f(x)x23x在点A(2,10)处的切线斜率k__________。

9、两曲线yx21与y3x2在交点处的两切线的夹角为___________。

10、设f(x)在点x处可导，a,b为常数，则

limx0f(xax)f(xbx)____。

x2xx1(x0)

11、已知函数f(x)，试确定a,b的值，使f(x)在x0处可导。

axb(x＞0)

12、设f(x)

13、利用导数的定义求函数yx(x0)的导数。(x1)(x2)(xn)，求f＇(1)。

(x1)(x2)(xn)