平方差公式教案_教案平方差公式
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公开课教案
课题：平方差公式 授课：张福仁 教学目标：
1、知识与技能目标：会用平方差公式进行多项式乘法运算
2、过程与方法目标：通过问题情境，引导学生自行得出平方差公式，再通过练习巩固。
3、情感态度与价值观目标：通过问题探究，培养学生独立思考、解决问题能力。教学重点：平方差公式理解、运用 教学难点：平方差公式理解、运用 教学过程
Ⅰ.提出问题,创设情境
[师]你能用简便方法计算下列各题吗?(1)2001×1999(2)998×1002 [生甲]直接乘比较复杂,我考虑把它化成整百,整千的运算,从而使运算简单,2001可以写成2000+1,1999可以写成2000-1,那么2001×1999可以看成是多项式的积,根据多项式乘法法则可以很快算出.[生乙]那么998×1002=(1000-2)(1000+2)了.[师]很好,请同学们自己动手运算一下.[生](1)2001×1999=(2000+1)(2000-1)=20002-1×2000+1×2000+1×(-1)=20002-1 =4000000-1 =3999999.(2)998×1002=(1000-2)(1000+2)=10002+1000×2+(-2)×1000+(-2)×2
=10002-22 =1000000-4 =1999996.[师]2001×1999=20002-12 998×1002=10002-22 它们积的结果都是两个数的平方差,那么其他满足这个特点的运算是否也有这个规律呢?我们继续进行探索.Ⅱ.导入新课
计算下列多项式的积.(1)(x+1)(x-1)(2)(m+2)(m-2)(3)(2x+1)(2x-1)(4)(x+5y)(x-5y)观察上述算式,你发现什么规律?运算出结果后,你又发现什么规律?再举两例验证你的发现.(学生讨论,教师引导)[生甲]上面四个算式中每个因式都是两项.[生乙]我认为更重要的是它们都是两个数的和与差的积.例如算式(1)是x与1这两个数的和与差的积;算式(2)是m与2这两个数的和与差的积;算式(3)是2x与1•这两个数的和与差的积;算式(4)是x与5y这两个数的和与差的积.[师]这个发现很重要,请同学们动笔算一下,相信你还会有更大的发现.[生]解:(1)(x+1)(x-1)
=x2+x-x-1=x2-12(2)(m+2)(m-2)=m2+2m-2m-2×2=m2-22(3)(2x+1)(2x-1)=(2x)2+2x-2x-1=(2x)2-12(4)(x+5y)(x-5y)=x2+5y·x-x·5y-(5y)2 =x2-(5y)2 [生]从刚才的运算我发现: 也就是说,两个数的和与差的积等于这两个数的平方差,这和我们前面的简便运算得出的是同一结果.[师]能不能再举例验证你的发现? [生]能.例如: 51×49=(50+1)(50-1)=502+50-50-1=502-12.即(50+1)(50-1)=502-12.(-a+b)(-a-b)=(-a)·(-a)+(-a)·(-b)+b·(-a)+b·(-b)=(-a)2-b2=a2-b2 这同样可以验证:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.[师]为什么会是这样的呢? [生]因为利用多项式与多项式的乘法法则展开后,中间两项是同类项,且系数互为相反数,所以和为零,只剩下这两个数的平方差了.[师]很好.请用一般形式表示上述规律,并对此规律进行证明.[生]这个规律用符号表示为:(a+b)(a-b)=a2-b2.其中a、b表示任意数,也可以表示任意的单项式、多项式.利用多项式与多项式的乘法法则可以做如下证明:(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2.[师]同学们真不简单.老师为你们感到骄傲.能不能给我们发现的规律(a+b)(a-b)=a2-b2起一个名字呢? [生]最终结果是两个数的平方差,叫它“平方差公式”怎样样? [师]有道理.这就是我们探究得到的“平方差公式”,•请同学们分别用文字语言和符号语言叙述这个公式.(出示投影)两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.即:(a+b)(a-b)=a2-b2 平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式,用它直接运算会很简便,但必须注意符合公式的结构特征才能应用.在应用中体会公式特征,感受平方差公式给运算带来的方便,从而灵活运用平方差公式进行计算
(出示投影片)例1:运用平方差公式计算:(1)(3x+2)(3x-2)(2)(b+2a)(2a-b)(3)(-x+2y)(-x-2y)例2:计算:
(1)102×98(2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)[师生共析]运用平方差公式时要注意公式的结构特征,学会对号入座.在例1的(1)中可以把3x看作a,2看作b.即:(3x+2)(3x-2)=(3x)2-22(a+b)(a-b)=a2-b2 同样的方法可以完成(2)、(3).如果形式上不符合公式特征,可以做一些简单的转化工作,使它符合平方差公式的特征.比如(2)应先作如下转化:(b+2a)(2a-b)=(2a+b)(2a-b).如果转化后还不能符合公式特征,则应考虑多项式的乘法法则.(作如上分析后,学生可以自己完成两个例题.•也可以通过学生的板演进行评析达到巩固和深化的目的)[例1]解:(1)(3x+2)(3x-2)=(3x)2-22=9x2-4.(2)(b+2a)(2a-b)=(2a+b)(2a-b)=(2a)2-b2=4a2-b2.(3)(-x+2y)(-x-2y)=(-x)2-(2y)2=x2-4y2.[例2]解:(1)102×98=(100+2)(100-2)=1002-22=10000-4=9996.(2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)=y2-22-(y2+5y-y-5)=y2-4-y2-4y+5 =-4y+1.[师]我们能不能总结一下利用平方差公式应注意什么?
[生]我觉得应注意以下几点:(1)公式中的字母a、b可以表示数,也可以是表示数的单项式、多项式即整式.(2)要符合公式的结构特征才能运用平方差公式.(3)有些多项式与多项式的乘法表面上不能应用公式,•但通过加法或乘法的交换律、结合律适当变形实质上能应用公式.[生]运算的最后结果应该是最简才行.[师]同学们总结得很好.下面请同学们完成一组闯关练习.优胜组选派一名代表做总结发言
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