《平面向量的分解定理》教案_平面向量分解定理

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8.3平面向量的分解定理

翁旭宇

一、教学目标

1．理解和掌握平面向量的分解定理；

2．掌握平面内任一向量都可以用两个不平行向量来表示；掌握基的概念，并能够用基表示平面内的向量；

3．根据学生已有的物理知识经验，在熟悉的问题情景中，体会研究向量分解的必要性。4．经历平面向量分解定理的探求过程，培养观察能力、抽象概括能力、体会化归思想。

二、教学重点及难点 ：平面向量分解定理的发现和形成过程；分解唯一性的说明。

三、教学过程设计

（一）、设置情景，引入课题（1）观察

前面我们学过向量的加法，知道两个向量可以合成一个向量，反过来，一个向量是否可以分解成两个向量呢？

下面让我们来看一个实例：

实例：一盏电灯，可以由电线CO吊在天花板上，也可以由电线OA和绳BO拉住.CO所受的力F与电灯重力平衡，拉力F可以分解为AO与BO所受的拉力F1和 F2.CAF1FOF2B

思考：从这个实例我们看到了什么？

答：一个向量可以分成两个不同方向的向量.（2）复习正交分解，并抽象为数学模型

PjOi

OPxiyj

（二）、探索探究，主动建构

概括讨论，提出新问题：

如果向量e1,e2是同一平面内的两个不平行的向量，a是该平面内的一个非零向量，是否能用向量e1,e2表示向量a？

数学实验1 实验设计：

(1)实验目的：通过实验让学生探究：给定平面内的两个不平ae2e1行向量e1,e2，对于给定的非零向量a是否能分解成e1,e2方向上的两个向量，且分解是否是唯一的？(2)实验步骤：

a.以四位同学为一组，给每一位同学一个图，上面有两个不平行向量e1,e2和a；

b.每个同学先独立作图；

c.小组对照，比较所分解的两向量的长度和方向是否相同.并得出结论.(3)实验报告：(由学生发言)可以分解，且分解的长度和方向唯一的.师：既然可以分解并且是唯一的，能不能用数学式子把a和e1,e2的关系表示出来？ 生：e1,e2是不平行向量，a是平面内给定的向量，在平面内任取一点O（1）作OAe1,OBe2,OCa；（2）过C作平行于直线OB的平行线与直线OA相交于点M；

（3）过C作平行于直线OA的平行线与直线OB相交于点N；

（4）四边形ONCM为平行四边形，由向量平行的充要条件可知存在实数

NaCBe2Oe1AM1,2，使得OM1e1，ON2e2，则OCaOMON1e12e2.a=入1e1 +入2e2.对于给定的向量可以唯一分解成给定的两个不平行向量，那么对于任意的向量a是否也可以得到同样的结论呢？下面让我们来做一个实验.数学实验2 实验设计：

(1)实验目的：通过几何画板向量分解动画，让学生体会对于任意向量都可以分解成给定的两个不平行向量，且分解是唯一的.(2)实验步骤：

a.利用几何画板画出两个不平行向量e1,e2，画出一个任意向量(该向量可以任意拖动终点来改变)；

b.学生从拖动中体会其向量的任意性.（一些特殊位置0，ae1，ae2）(3)实验报告： 3．探究结果

几何角度：平面内的任一向量a都可以表示为给定的两个不平行向量e1,e2的线性组合，即a1e12e2，且分解是唯一的.代数角度：说明唯一性：

说明：（1）当a0时，00e10e2

（2）当a0时，假设a1e12e2，则有

1e12e2=1e12e2

(11)e1(22)e20.由于e1,e2(11)0,(22)0，即11,22.4．概括得出定理：

平面向量分解定理：如果e1,e2是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1,2，使a1e12e2.我们把不平行的向量e1,e2叫做这一平面内所有向量的一组基.注意：

（1）基底不共线；

不平行，故

ee（2）将任一向量a在给出基底1、2的条件下进行分解；

（3）基底给定时，分解形式唯一，1,2

（通过实验的制作，学生的动手作图能力得到提高，通过学生对实验结果的讨论，学生的抽象概括能力，语言表达能力得到训练.）

（三）．例题分析

例1（教材P66．例2）如图：平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且ABa,ADb，分别用a,b表示MA,MB,MC和MD.解： 在平行四边形ABCD中，aee是被，1，2唯一确定的数量

ACABADab,DBABADab, D1111MAAC(ab)ab, 2222MB1111DB(ab)ab, 2222，CMbMC11AC(ab)22111DBab 222AaBMDMB

注：（1）把a,b作为一组基，用向量a,b表示平面内的任何一个向量

（2）平行四边形法则简化为三角形法则。练习：学生完成教材后面练习P67（2）

思考：由例1和练习（2）平行四边形ABCD中还有哪些线段可以作为一组基？哪些线段不可以作为一组基？为什么？

思考题（教材P67．例 3）已知OA,OB是不平行的两个向量，k是实数，且APkAB(kR)，用OA,OB表示OP.解：APkAB,OPOAAPOAkABOAk(OBOA)

OAkOBkOA(1k)OAkOB.（四）、课堂小结：（1）平面向量的分解定理.对分解定理的理解：基底e1,e2为两个不平行向量，向量a的任意性，实数对1,2的存在性和唯一性；

（2）从基的角度认识几何图形。

（五）、作业布置

《练习册》P37 A组3，4，5 B组2，3