函数与方程教案_函数与方程公开课教案

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第四章：函数应用

§1：函数与方程

教学分析:课本选取探究具体的一元二次方程的根与其对应二次函数的图像与x轴交点的横坐标之间的关系作为本节的入口。其意图是让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系。教学目标：

1、让学生明确“方程的根”与“函数的零点”的密切联系，学会结合函数图像性质判断方程根的个数，学会用多种方法求方程的根和函数的零点。

2、通过本节学习让学生掌握“由特殊到一般”的认识规律，在今后学习中利用这一规律探索更多的未知世界。重点难点：根据二次函数图像与x轴的交点个数判断一元二次方程的根的个数；函数零点的概念。复习引入：

同学们好，今天我们来进行第四章函数应用的学习，这一节课我们先来学习第一节函数与方程。在讲新课之前，我们已经学习过一元一次方程、一元二次方程，并会对它们进行求解。现在来看几个方程：①ax+b=0(a0)这是一个一元一次方程，我们能很容易求出方程的解是x=－.②ax2+bx+c=0(a0)这是一个一元二次方程，在对一ab元二次方程求解时我们会先用判别式△=b2－4ac来判断方程是否有实解。当△＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，x1≠x2;当△=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，x1=x2;当△＜0时，一元二次方程没有实数根。当方程有实数根时，我们可以通过求根公式求出一元二次方程的根：x=

bb4ac2a2。③x5+4x3+3x2+2x+1=0

函数的零点。

说明：①零点是所在函数图像与x轴交点的横坐标。

②零点是一个实数，并不是一个点。③函数的零点就是相应方程的根。

④函数零点的个数与相应方程的根的个数相等。

学习过零点概念及以上4点说明，我们已经学会判断零点：要求函数的零点就要看函数图像与x轴是否有交点，也即相应方程是否有实根。因此得到判断零点的方法。

2． 判断零点的方法：方程f(x)=0有实根函数y=f(x)的图像与x轴有交点函数y=f(x)有零点。可得出：方程f(x)=0的实根与函数y=f(x)的零点是一一对应的。

那如果所给的函数的图像不易画出，又不能求出其对应方程的根时，我们怎样判断函数有没有零点呢？

观察例1中第一个方程的对应图像：f(x)= x2-2x-3 从图像上看，我们知道函数f(x)= x2-2x-3有两个零点：-1,3.而能找到区间[-2,0]使零点-1在[-2,0]内，区间[2,4]使零点3在[2,4]内。且有f(-2)=5＞0,f(0)=-3＜0, f(-2)×f(0)＜0;f(2)=-3＜0, f(4)=5＞0, f(2)×f(4)＜0.可以发现f(-2)×f(0)＜0，函数f(x)= x2-2x-3在区间（-2,0）内有零点-1是方程x2-2x-3=0的一个根；同样地，f(2)×f(4)＜0，函数f(x)= x2-2x-3在区间（2,4）内有零点3是方程x2-2x-3=0的另一个根。因此可以得到以下结论：

3.零点存在性定理： 若函数y=f(x)在闭区间[a,b]的图像是连续曲

5，一个小于2。

分析：转化判断函数f(x)=（x-2）（x-5）-1在区间（-∞，2）和(5, +∞)内各有一个零点。

解：考虑函数f(x)=（x-2）（x-5）-1，有f(2)=（2-2）（2-5）-1=-1＜0，f(5)=（5-2）（5-5）-1=-1＜0，又因为f(x)的图像是开口向上的抛物线，在（-∞，2）内存在一点a，使f(a)＞0；在(5, +∞)内存在一点b，使f(b)＞0，所以抛物线与横轴在（a，2）内有一个交点，在(5, b)内也有一个交点，而该交点即是方程的解。所以方程（x-2）（x-5）=1有两个相异的实数解，且一个大于5，一个小于2。

四、零点存在性定理说：“若f(a)×f(b)＜0，则在区间（a,b）内，函数y=f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)=0在区间（a,b）内至少有一个实数解”，它只指出了方程f(x)=0实数解的存在，并不能判断具体有多少个实数解。那改为f(a)×f(b)＞0时，问题：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且f(a)×f(b)＞0，那么函数y=f(x)在区间（a,b）内是否有零点?可能有几个零点？

解：零点个数可以是任意自然数。可讨论在区间[-3,3]上函数零点个数，来画图进行观察。