第3讲：巧妙求和(教案)_四年级巧妙求和教案

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第3讲：巧妙求和（教案）

课前知识复习 1.某超市有5筐大米，如果从每个筐中取出60千克，那么5个筐里剩下的大米正好是原来的3筐。原来每个筐里装多少千克大米？ 60*5/（5-3）=150 2.有6筐梨，每筐梨的个数相等，如果从每筐中取出30个，那么6筐梨剩下的个数总和比原来2筐梨多24个，原来每筐有梨多少个？

（30*6+24）/（6-2）=51 引入若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。

从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。

在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1

一：精讲精练【例题1】有一个数列：4，10，16，22.„，52.这个数列共有多少项？

【思路导航】容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52.要求项数，可直接带入项数公式进行计算。

项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。练习1：

1.等差数列中，首项=1.末项=39，公差=2.这个等差数列共有多少项？答案：39-1=38 38 /2=19 19+1=20 2.有一个等差数列：2.5，8，11.„，101.这个等差数列共有多少项？答案：101-2=99 99/3=33 33+1=34 【例题2】有一等差数列：3.7，11.15，„„，这个等差数列的第100项是多少？【思路导航】这个等差数列的首项是3.公差是4，项数是100。要求第100项，可根据“末项=首项+公差×（项数－1）”进行计算。

第100项=3+4×（100－1）=399.练习2：

1.一等差数列，首项=3.公差=2.项数=10，它的末项是多少？答案：10-1=9 9*2=18 3+18=21 2.求1.4，7，10„„这个等差数列的第30项。答案：29*3=87 87+1=88 【例题3】有这样一个数列：1.2.3.4，„，99，100。请求出这个数列所有项的和。【思路导航】如果我们把1.2.3.4，„，99，100与列100，99，„，3.2.1相加，则得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+„+（99+2）+（100+1），其中每个小括号内的两个数的和都是101.一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2.就是所求数列的和。

1+2+3+„+99+100=（1+100）×100÷2=5050 上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列都可以用下面的公式求和：等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2 这个公式也叫做等差数列求和公式。练习3：计算下面各题。（1）1+2+3+„+49+50 答案：1+50=51 51*50/2=1275（2）6+7+8+„+74+75 答案：6+75=81 81*70/2=2835 【例题4】求等差数列2，4，6，„，48，50的和。【思路导航】这个数列是等差数列，我们可以用公式计算。

要求这一数列的和，首先要求出项数是多少：项数=（末项－首项）÷公差+1=（50－2）÷2+1=25 首项=2.末项=50，项数=25 等差数列的和=（2+50）×25÷2=650.练习4：计算下面各题。（1）2+6+10+14+18+22 答案：（22-2）/4+1=6(2+22)*6/2=72（2）5+10+15+20+„+195+200 答案：（200-5）/5+1=40 5+200）*40/2=4100 【例题5】计算（2+4+6+„+100）－（1+3+5+„+99）

【思路导航】容易发现，被减数与减数都是等差数列的和，因此，可以先分别求出它们各自的和，然后相减。进一步分析还可以发现，这两个数列其实是把1 ～ 100这100个数分成了奇数与偶数两个等差数列，每个数列都有50个项。因此，我们也可以把这两个数列中的每一项分别对应相减，可得到50个差，再求出所有差的和。

（2+4+6+„+100）－（1+3+5+„+99）

=（2－1）+（4－3）+（6－5）+„+（100－99）=1+1+1+„+1 =50 练习5：

用简便方法计算下面各题。

（1）（2001+1999+1997+1995）－（2000+1998+1996+1994）答案：2001-2000）+（1999-1998）

=1+1+1+1 =4（2）（2+4+6+„+2000）－（1+3+5+„+1999）答案：（2-1）+（4-3）

=1+1+1+ =1000

知识总结：

若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。

从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。

在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。

通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1

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