分部积分法教案_分部积分法说课

分部积分法教案由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“分部积分法说课”。

分部积分法

教学目的：使学生理解分部积分法，掌握分部积分法的一般步骤及其应用。重点：分部积分法及其应用

难点：在分部积分法中，要恰当的选取u和v 教学方法：讲练法 0 回顾

上几节课我们学习了不定积分的求法，要求我们①熟记基本初等函数积分公式表②熟练、灵活的运用第一换元积分法（凑微法）③熟练、灵活的运用第二换元积分法。

凑微法：实质是在被积函数中凑出中间变量的微分；

f(x)dxf[(x)]'(x)dx

f[(x)]d[(x)] f(u)du

令u(x)



F(u)C

F[(x)]C第二换元积分法：关键是通过适当的变量替换x(t)，使得难求的积分易求

f[(t)]'(t)dt f(x)dx令x(t)f[(t)]d(t)

F[(t)]C

F(x)C1引入

用我们已经掌握的方法求不定积分xcosxdx

分析：①被积函数为两函数的乘积不是基本的积分公式。

②凑微法失效。xcosx

③第二类换元积分法 解：不妨设 cosxt

原方程tarccost则xarccost

11t2dt更为复杂

所以凑微法和第二换元积分法都失效。

反之考虑，两函数乘积的积分不会，但两函数乘积的求导我们会，比如：（假设u、v为两个函数）已知：

(uv)'u'vuv' 对上式两边积分得：uvu'vdxuv'dx 移项得：

uv'dxuvu'vdx

观察上式发现被积函数也是两函数乘积的形式，注意：uv'dx中v’为导数形式。故，我们可以尝试来解一下上面的积分。

xcosxdx先要化的和要求积分的形式一样

x(sinx)'dxxsinxx'sinxdxxsinxcosxC

真是：山重水复疑无路，柳暗花明又一村。通过上面的方法，我们顺利的解决两函数乘积的积分。其实上面的公式正是这一节课要讲述的“分部积分法”。公式

2.1定理

设函数uu(x)和vv(x)及都具有连续的导数，则有分部积分公式：

uv'dxuvu'vdx（或udvuvvdu）

说明：①两函数的积分等于将其中一个放在d里后，里外相乘减去换位的积分。

②内外积减去换位“积”。

③步骤：a、放d中，b、套公式。

2.2 例 1求不定积分xsinxdx

解: xsinxdx

①放d中②套公式xsinxdxxd(cosx)

xcosxcosxdxxcosxsinxCU、V的选取问题

x

例 2 求不定积分exdx 

解：

exxdx1exd(x2)112x 2xxexde2211x2exexx2dx22容易发现使用分部积分公式后，变得更加复杂了，是我们的公式用错了吗？不妨换个角度看问题：

xexdx

xdexxexexdxxexexC

发现问题解决了，问题出在哪里？观察发现，这两种做法的不同之处在于把谁放在d里，换句话说就是则样选择u和v的问题，由上面的例看出运用分部积分公式时恰当的选择u和v是十分重要的，选对了可以轻松解题，选错了，轻则解题复杂，重则解不出结果。那么应该如何选取u和v的呢？

我们来看一下公式udvuvvdu，要把v放在d中首先要对v积分，所以v要便于积分；而u要进行求导，所以u便于求导；实际上关键是v，v定了，u怎然定了。所以U、V选取的原则是：v便于积分，u便于求导。

例3 求不定积分xlnxdx

分析：对于x和lnx来说明显的x便于积分，故选lnx 做u xlnxdx1lnxd(x2)2121 xlnxxdlnx

2211x2lnxxdx2211x2lnxx2C2实际上在选取v时是相对的，两个函数中更便于积分的做v，我们列出了一个积分从难到易顺序：反、对、幂、三、指；一般在做题的时候我们选取后面的做v.4 例题讲解

例 4 求不定积分lnxdx

分析：此为一个函数的积分，当然不能使用凑微法、换元法积分，可是不满足两函数乘积，能否用分部积分公式呢？其实只需要将被积函数看作1lnx即可。

解： lnxdxlnxdx

xlnxxdlnxxlnxxC

结论：学习数学重要的是记忆、理解公式，更重要的是灵活应用。

2x

例 5 求不定积分xedx  解：

xedxxde22xxx2ex2xexdx再次使用分部积分公式x2ex2xdexx2ex2(xexexdx)x2ex2xexexC结论：分部积分公式是可以重复使用的。

x

例 6求不定积分esinxdx



解：

esinxdxsinxde

xxxesinxecosxdxexsinxexcosxexsinxdxx

x好像进入了死胡同，实则不然，令esinxdxI,则上式变为：

IexsinxexcosxI

则2Iesinxecosxxx

I1x(esinxexcosx)C

2问题得以解决。故要灵活的处理问题。小结

1、分部积分的公式

2、U、V的选取

3、灵活的使用公式