人工智能原理教案02章归结推理方法2.3谓词逻辑归结法基础_谓词逻辑推理理论
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2.3 谓词逻辑归结法基础
由于谓词逻辑与命题逻辑不同，有量词、变量和函数，所以在生成子句集之前要对逻辑公式做处理，具体的说就是要将其转化为Skolem标准形，然后在子句集的基础上再进行归结，虽然基本的归结的基本方法都相同，但是其过程较之命题公式的归结过程要复杂得多。
本节针对谓词逻辑归结法介绍了Skolem标准形、子句集等一些必要的概念和定理。
2．3．1 Skolem 标准形 Skolem标准形的定义：
前束范式中消去所有的存在量词，则称这种形式的谓词公式为Skolem标准形，任何一个谓词公式都可以化为与之对应的Skolem标准形。但是，Skolem标准形不唯一。
前束范式：A是一个前束范式，如果A中的一切量词都位于该公式的最左边（不含否定词），且这些量词的辖域都延伸到公式的末端。
Skolem标准形的转化过程为，依据约束变量换名规则，首先把公式变型为前束范式，然后依照量词消去原则消去或者略去所有量词。具体步骤如下：
将谓词公式G转换成为前束范式
前束范式的形式为：
(Q1x1)(Q2x2)…(Qnxn)M(x1,x2,…,xn)
即： 把所有的量词都提到前面去。
注意：由于所有的量词的辖域都延伸到公式的末端，即，最左边量词将约束表达式中的所有同名变量。所以将量词提到公式最前端时存在约束变量换名问题。要严守规则。
约束变量换名规则：
(Qx)M（x）（Qy）M（y）
(Qx)M（x,z）（Qy）M（y,z）
量词否定等值式：
～(x)M（x）（y）～ M（y）
～(x)M（x）（y）～ M（y）
量词分配等值式：
(x)(P（x）∧Q（x）)(x)P（x）∧(x)Q（x）
(x)(P（x）∨ Q（x）)(x)P（x）∨(x)Q（x）
消去量词等值式：设个体域为有穷集合（a1, a2, …an）
(x)P（x）P（a1）∧ P（a2）∧ …∧ P（an）
(x)P（x）P（a1）∨ P（a2）∨ … ∨ P（an）
量词辖域收缩与扩张等值式：
(x)(P（x）∨ Q)(x)P（x）∨ Q
(x)(P（x）∧ Q)(x)P（x）∧ Q
(x)(P（x）→ Q)(x)P（x）→ Q
(x)(Q → P（x）)Q →(x)P（x）
(x)(P（x）∨ Q)(x)P（x）∨ Q
(x)(P（x）∧ Q)(x)P（x）∧ Q
(x)(P（x）→ Q)(x)P（x）→ Q
(x)(Q → P（x）)Q →(x)P（x）消去量词
量词消去原则：
1)消去存在量词“”，即，将该量词约束的变量用任意常量（a, b等）、或全称变量的函数(f(x), g(y)等)代替。如果存在量词左边没有任何全称量词，则只将其改写成为常量；如果是左边有全程量词的存在量词，消去时该变量改写成为全程量词的函数。
2)略去全程量词“”，简单地省略掉该量词。
Skolem 定理：
谓词逻辑的任意公式都可以化为与之等价的前束范式，但其前束范式不唯一。
注意：公式G的SKOLEM标准形同G并不等值。例题2-2
将下式化为Skolem标准形：
～(x)(y)P(a, x, y)→(x)(～(y)Q(y, b)→R(x))
解：
第一步，消去→号，得：
～(～(x)(y)P(a, x, y))∨(x)(～～(y)Q(y, b)∨R(x))
第二步，～深入到量词内部，得：
(x)(y)P(a, x, y)∧～(x)((y)Q(y, b)∨R(x))
＝(x)(y)P(a, x, y)∧(x)((y)～Q(y, b)∧～R(x))
第三步，全称量词左移，（利用分配律），得
(x)((y)P(a, x, y)∧(y)(～Q(y, b)∧～R(x)))
第四步，变元易名，存在量词左移，直至所有的量词移到前面，得：
(x)((y)P(a, x, y)∧(y)(～Q(y, b)∧～R(x)))
＝(x)((y)P(a, x, y)∧(z)(～Q(z, b)∧～R(x)))
=(x)(y)(z)(P(a, x, y)∧～Q(z, b)∧～R(x))
由此得到前述范式
第五步，消去“”（存在量词），略去“”全称量词
消去(y)，因为它左边只有(“x)，所以使用x的函数f(x)代替之，这样得到：
(x)(z)(P(a, x, f(x))∧～Q(z, b)∧～R(x))
消去(z)，同理使用g(x)代替之，这样得到：
(x)(P(a, x, f(x))∧～Q(g(x), b)∧～R(x))
则，略去全称变量，原式的Skolem标准形为：
P(a, x, f(x))∧～Q(g(x), b)∧～R(x)2.3.2子句集
文字：不含任何连接词的谓词公式。
子句：一些文字的析取（谓词的和）。
子句集：所有子句的集合对于任一个公式G，都可以通过Skolem标准形，标准化建立起一个子句集与之相对应。因为子句不过是一些文字的析取，是一种比较简单的形式，所以对G的讨论就用对子句集S的讨论来代替，以便容易处理。
子句集S可由下面的步骤求取：
1.谓词公式G转换成前束范式
2.消去前束范式中的存在变量，略去其中的任意变量，生成SKOLEM标准形
3.将SKOLEM标准形中的各个子句提出，表示为集合形式
教师提示：为了简单起见，子句集生成可以理解为是用”，“取代SKOLEM标准形中的”Λ“，并表示为集合形式。
注意：SKOLEM标准形必须满足合取范式的条件。即，在生成子句集之前逻辑表达式必须是各”谓词表达式“或”谓词或表达式"的与。定理
谓词表达式G是不可满足的当且仅当 其子句集S是不可满足的公式G与其子句集S并不等值，但它们在不可满足的意义下是一致的。因此如果要证明A1∧A2∧A3→B，只需证明G＝ A1∧A2∧A3∧～B的子句集是不可满足的，这也正是引入子句集的目的。
注意：公式G和子句集S虽然不等值，但是它们的之间一般逻辑关系可以简单的说明为：G真不一定S真，而S真必有G真，即，S G。在生成SKOLEM标准形时将存在量词用常量或其他变量的函数代替，使得变量讨论的论域发生了变化，即论域变小了。所以G不能保证S真。定理的推广
对于形如G = G1Λ G2Λ G3Λ …Λ Gn 的谓词公式，G的子句集的求取过程可以分解成几个部分单独处理。如果Gi的子句集为Si，则
有 S' = S1 ∪ S2 ∪ S3 ∪ …∪ Sn，虽然G的子句集不为S'，但是可以证明：
SG 与S1 ∪ S2 ∪ S3 ∪ …∪Sn在不可满足的意义上是一致的。
即SG 不可满足 S1 ∪ S2 ∪S3 ∪ …∪ Sn不可满足
