高考数学回归课本教案：极限与导数_高考数学极限与导数

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高考数学回归课本教案

整理：卢立臻

第十四章 极限与导数

一、基础知识 1．极限定义：（1）若数列{un}满足，对任意给定的正数ε，总存在正数m，当n>m且n∈N时，恒有|un-A|

xx0xx0xx0xx0lim[f(x)•g(x)]=ab, limxx0f(x)a(b0).g(x)bxx0xx03.连续：如果函数f(x)在x=x0处有定义，且limf(x)存在，并且limf(x)=f(x0)，则称f(x)在x=x0处连续。

4．最大值最小值定理：如果f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数，那么f(x)在[a,b]上有最大值和最小值。

5．导数：若函数f(x)在x0附近有定义，当自变量x在x0处取得一个增量Δx时（Δx充分小），因变量y也随之取得增量Δy(Δy=f(x0+Δx)-f(x0)).若limy存在，则称f(x)在x0xx0处可导，此极限值称为f(x)在点x0处的导数（或变化率），记作f'(x0)或y'xx0或dydx，即f'(x0)limx0xx0f(x)f(x0)。由定义知f(x)在点x0连续是f(x)在x0可导的必

xx0要条件。若f(x)在区间I上有定义，且在每一点可导，则称它在此敬意上可导。导数的几何意义是：f(x)在点x0处导数f'(x0)等于曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的斜率。6．几个常用函数的导数：（1）(c)'=0（c为常数）；（2）(xa)'axa1（a为任意常数）；（3）(sinx)'cosx;(4)(cosx)'sinx;(5)(ax)'axlna;(6)(ex)'ex;（7）(logax)'11logax；（8）(lnx)'.xx7．导数的运算法则：若u(x),v(x)在x处可导，且u(x)≠0,则

（1）[u(x)v(x)]'u'(x)v'(x)；（2）[u(x)v(x)]'u'(x)v(x)u(x)v'(x)；（3）

I,f''(x)0,则曲线y=f(x)在I内是下凸的；（2）如果对任意x∈I,f''(x)0,则y=f(x)在I内是上凸的。通常称上凸函数为凸函数，下凸函数为凹函数。

+16．琴生不等式：设α1,α2,…,αn∈R，α1+α2+…+αn=1。（1）若f(x)是[a,b]上的凸函数，则x1,x2,…,xn∈[a,b]有f(a1x1+a2x2+…+anxn)≢a1f(x1)+a2f(x2)+…+anf(xn).二、方法与例题 1．极限的求法。

an2n1例1 求下列极限：（1）lim222；（2）lim（3）(a0)；

n1annnnn111；n(n1n).lim（4）lim222nnn2nnn1[解]（1）limn(n1)2n1121lim=lim； 222nnn2n2nnn22n2an11（2）当a>1时，limlim1.nnn1ann111lim1naa当0

2.而limnnnn2limn1,limn1n12limn1n2所以lim1111.222nn2nnn1（4）limn(n1n)limnnnn1n2

2limn112n

11n1.2例2 求下列极限：（1）lim(1+x)(1+x2)(1+x)…(1+x)(|x|

n1x213（2）lim（3）lim。；x11x3x11x3x1x

4．导数的计算。

5x23xxcos2x例5 求下列函数的导数：（1）y=sin(3x+1)；（2）y；（3）y=e；（4）

xx（5）y=(1-2x)(x>0且xyln(xx21)；

1)。2[解]（1）y'cos(3x1)(3x1)'3cos(3x+1).(5x23xx)'x(5x23xx)(x)'(2)y' 2x1210x3x5x3xx2x x2512x3.（3）y'ecos2x(cos2x)'ecos2x(sin2x)(2x)'2ecos2xsin2x.（4）y'1xx21(xx21)'x 122xx1x111x12.xxln(12x)（5）y'[(12x)]'[e]'exln(12x)(xln(12x))'

2x(12x)xln(12x).12x5．用导数讨论函数的单调性。例6 设a>0，求函数f(x)=[解] f'(x)x-ln(x+a)(x∈(0,+∞))的单调区间。

12x122

(x0)，因为x>0,a>0，所以f'(x)0x+(2a-4)x+a>0；xaf'(x)0x2+(2a-4)x+a+1时，对所有x>0，有x+(2a-4)x+a>0，即f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增；

22（2）当a=1时，对x≠1,有x+(2a-4)x+a>0，即f'(x)0，所以f(x)在（0，1）内单调

2递增，在（1，+∞）内递增，又f(x)在x=1处连续，因此f(x)在(0,+∞)内递增；（3）当

sin(1y)xsinxsinxy2sinx，令g(x)=, 2xxx(1y)(1y)xg'(x)cosx(xtanx)(x), 22x当x0,时，因为cosx>0,tanx>x，所以g'(x)0； 2当x,时，因为cosx0，所以g'(x)0； 2又因为g(x)在(0,π)上连续，所以g(x)在(0,π)上单调递减。又因为0g(x)，即

sin(1y)xsinx0，(1y)xxy2sinx又因为0，所以当x∈(0,π),y∈(0,1)时，f(x,y)>0.2x(1y)其次，当x=0时，f(x,y)=0；当x=π时，f(x,y)=(1-y)sin(1-y)π≣0.当y=1时，f(x,y)=-sinx+sinx=0；当y=1时，f(x,y)=sinx≣0.综上，当且仅当x=0或y=0或x=π且y=1时，f(x,y)取最小值0。

三、基础训练题

2n13n11．lim=_________.n2n3nn212．已知limanb2，则a-b=_________.nn11cos3．limn3x4x12(n1)lim_________.3nn3x2x2232xn1(n1)xn4．lim_________.x1(x1)22(1)nlim(x21x21)_________.5．计算limnxn6．若f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数，且f'(0)存在，则f'(0)_________.7．函数f(x)在(-∞,+∞)上可导，且f'(2)1，则limh0f(2h)f(2h)_________.2h8．若曲线f(x)=x4-x在点P处的切线平行于直线3x-y=0，则点P坐标为_________.9．函数f(x)=x-2sinx的单调递增区间是_________.五、联赛一试水平训练题

1．设Mn={（十进制）n位纯小数0•a1a2an|ai只取0或1（i=1,2,…,n-1），an=1}，Tn是Mn中元素的个数，Sn是Mn中所有元素的和，则limSn_________.nTn2．若(1-2)展开式的第3项为288，则limx9

1112n_________.nxxx3．设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x

f'(x)g(x)f(x)g'(x)0，且g(-3)=0，则不等式f(x)g(x)

2a(a0)恒成立，7．当x∈(1,2]时，f(x)=则y=lg(a-a+3)的最小值为_________.2x16．已知f(x)8．已知f(x)=ln(e+a)(a>0)，若对任意x∈[ln(3a),ln(4a)]，不等式|m-f(x)|+ln[f'(x)]

xb11.若函数gA(x)的定义域A=[a,b)，且gA(x)=11,其中a,b为任意的正实

ax数，且a

2222（3）若x1∈Ik=[k,(k+1)],x2∈Ik+1=[(k+1),(k+2)]，证明：

22gI(x1)gI(x2)kk14.k(k1)

六、联赛二试水平训练题

x2x21．证明下列不等式：（1）xln(x)x(x0)；

22(1x)（2）tanxx,x0,。xsinx2-9