高三数学《函数》教案_高三数学函数复习教案

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【小编寄语】查字典数学网小编给大家整理了高三数学《函数》教案，希望能给大家带来帮助!

2.12 函数的综合问题

●知识梳理

函数的综合应用主要体现在以下几方面：

1.函数内容本身的相互综合，如函数概念、性质、图象等方面知识的综合.2.函数与其他数学知识点的综合，如方程、不等式、数列、解析几何等方面的内容与函数的综合.这是高考主要考查的内容.3.函数与实际应用问题的综合.●点击双基

1.已知函数f(x)=lg(2x-b)(b为常数)，若x[1，+)时，f(x)0恒成立，则

A.b1 B.b1 C.b1 D.b=1

解析：当x[1，+)时，f(x)0，从而2x-b1，即b2x-1.而x[1，+)时，2x-1单调增加，b2-1=1.答案：A

2.若f(x)是R上的减函数，且f(x)的图象经过点A(0，3)和B(3，-1)，则不等式|f(x+1)-1|2的解集是___________________.解析：由|f(x+1)-1|2得-2

又f(x)是R上的减函数，且f(x)的图象过点A(0，3)，B(3，-1)，f(3)

0

答案：(-1，2)●典例剖析

【例1】 取第一象限内的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，使1，x1，x2，2依次成等差数列，1，y1，y2，2依次成等比数列，则点P1、P2与射线l:y=x(x0)的关系为

A.点P1、P2都在l的上方 B.点P1、P2都在l上

C.点P1在l的下方，P2在l的上方 D.点P1、P2都在l的下方

剖析：x1= +1=，x2=1+ =，y1=1 =，y2=，∵y1

P1、P2都在l的下方.答案：D

【例2】 已知f(x)是R上的偶函数，且f(2)=0，g(x)是R上的奇函数，且对于xR，都有g(x)=f(x-1)，求f(2002)的值.解：由g(x)=f(x-1)，xR，得f(x)=g(x+1).又f(-x)=f(x)，g(-x)=-g(x)，故有f(x)=f(-x)=g(-x+1)=-g(x-1)=-f(x-2)=-f(2-x)=-g(3-x)=

g(x-3)=f(x-4)，也即f(x+4)=f(x)，xR.f(x)为周期函数，其周期T=4.f(2002)=f(4500+2)=f(2)=0.评述：应灵活掌握和运用函数的奇偶性、周期性等性质.【例3】 函数f(x)=(m0)，x1、x2R，当x1+x2=1时，f(x1)+f(x2)=.(1)求m的值;

(2)数列{an}，已知an=f(0)+f()+f()++f()+f(1)，求an.解：(1)由f(x1)+f(x2)=，得 + =，+4 +2m= [4 +m(4 +4)+m2].∵x1+x2=1，(2-m)(4 +4)=(m-2)2.+4 =2-m或2-m=0.∵4 +4 2 =2 =4，而m0时2-m2，4 +4 2-m.m=2.(2)∵an=f(0)+f()+f()++f()+f(1)，an=f(1)+f()+ f()++f()+f(0).2an=[f(0)+f(1)]+[f()+f()]++[f(1)+f(0)]= + ++ =.an=.深化拓展

用函数的思想处理方程、不等式、数列等问题是一重要的思想方法.【例4】 函数f(x)的定义域为R，且对任意x、yR，有f(x+y)=f(x)+f(y)，且当x0时，f(x)0，f(1)=-2.(1)证明f(x)是奇函数;

(2)证明f(x)在R上是减函数;

(3)求f(x)在区间[-3，3]上的最大值和最小值.(1)证明：由f(x+y)=f(x)+f(y)，得f[x+(-x)]=f(x)+f(-x)，f(x)+ f(-x)=f(0).又f(0+0)=f(0)+f(0)，f(0)=0.从而有f(x)+f(-x)=0.f(-x)=-f(x).f(x)是奇函数.(2)证明：任取x1、x2R，且x10.f(x2-x1)0.-f(x2-x1)0，即f(x1)f(x2)，从而f(x)在R上是减函数.(3)解：由于f(x)在R上是减函数，故f(x)在[-3，3]上的最大值是f(-3)，最小值是f(3).由f(1)=-2，得f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1+1)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1)=3(-2)=-6，f(-3)=-f(3)=6.从而最大值是6，最小值是-6.深化拓展

对于任意实数x、y，定义运算x*y=ax+by+cxy，其中a、b、c是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算.现已知1*2=3，2*3=4，并且有一个非零实数m，使得对于任意实数x，都有x*m=x，试求m的值.提示：由1*2=3，2*3=4，得

b=2+2c，a=-1-6c.又由x*m=ax+bm+cmx=x对于任意实数x恒成立，b=0=2+2c.c=-1.(-1-6c)+cm=1.-1+6-m=1.m=4.答案：4.●闯关训练

夯实基础

1.已知y=f(x)在定义域[1，3]上为单调减函数，值域为[4，7]，若它存在反函数，则反函数在其定义域上

A.单调递减且最大值为7 B.单调递增且最大值为7

C.单调递减且最大值为3 D.单调递增且最大值为3

解析：互为反函数的两个函数在各自定义区间上有相同的增减性，f-1(x)的值域是[1，3].答案：C

2.关于x的方程|x2-4x+3|-a=0有三个不相等的实数根，则实数a的值是___________________.解析：作函数y=|x2-4x+3|的图象，如下图.由图象知直线y=1与y=|x2-4x+3|的图象有三个交点，即方程|x2-4x+3|=1也就是方程|x2-4x+3|-1=0有三个不相等的实数根，因此a=1.答案：1

3.若存在常数p0，使得函数f(x)满足f(px)=f(px-)(xR)，则f(x)的一个正周期为__________.解析：由f(px)=f(px-)，令px=u，f(u)=f(u-)=f[(u+)-]，T= 或 的整数倍.答案：(或 的整数倍)

4.已知关于x的方程sin2x-2sinx-a=0有实数解，求a的取值范围.解：a=sin2x-2sinx=(sinx-1)2-1.∵-1sinx1，0(sinx-1)24.a的范围是[-1，3].5.记函数f(x)= 的定义域为A，g(x)=lg[(x-a-1)(2a-x)](a1)的定义域为B.(1)求A;

(2)若B A，求实数a的取值范围.解：(1)由2-0，得 0，x-1或x1，即A=(-，-1)[1，+).(2)由(x-a-1)(2a-x)0，得(x-a-1)(x-2a)0.∵a1，a+12a.B=(2a，a+1).∵B A，2a1或a+1-1，即a 或a-2.而a1，a1或a-2.故当B A时，实数a的取值范围是(-，-2][，1).培养能力

6.(理)已知二次函数f(x)=x2+bx+c(b0，cR).若f(x)的定义域为[-1，0]时，值域也是[-1，0]，符合上述条件的函数f(x)是否存在?若存在，求出f(x)的表达式;若不存在，请说明理由.解：设符合条件的f(x)存在，∵函数图象的对称轴是x=-，又b0，-0.①当-，即1b2时，则

(舍去)或(舍去).③当--1，即b2时，函数在[-1，0]上单调递增，则 解得

综上所述，符合条件的函数有两个，f(x)=x2-1或f(x)=x2+2x.(文)已知二次函数f(x)=x2+(b+1)x+c(b0，cR).若f(x)的定义域为[-1，0]时，值域也是[-1，0]，符合上述条件的函数f(x)是否存在?若存在，求出f(x)的表达式;若不存在，请说明理由.解：∵函数图象的对称轴是

x=-，又b0，-，即0b1时，则

(舍去).综上所述，符合条件的函数为f(x)=x2+2x.7.已知函数f(x)=x+ 的定义域为(0，+)，且f(2)=2+.设点P是函数图象上的任意一点，过点P分别作直线y=x和y轴的垂线，垂足分别为M、N.(1)求a的值.(2)问：|PM||PN|是否为定值?若是，则求出该定值;若不是，请说明理由.(3)设O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值.解：(1)∵f(2)=2+ =2+，a=.(2)设点P的坐标为(x0，y0)，则有y0=x0+，x00，由点到直线的距离公式可知，|PM|= =，|PN|=x0，有|PM||PN|=1，即|PM||PN|为定值，这个值为1.(3)由题意可设M(t，t)，可知N(0，y0).∵PM与直线y=x垂直，kPM1=-1，即 =-1.解得t=(x0+y0).又y0=x0+，t=x0+.S△OPM= +，S△OPN= x02+.S四边形OMPN=S△OPM+S△OPN=(x02+)+ 1+.当且仅当x0=1时，等号成立.此时四边形OMPN的面积有最小值1+.探究创新

8.有一块边长为4的正方形钢板，现对其进行切割、焊接成一个长方体形无盖容器(切、焊损耗忽略不计).有人应用数学知识作了如下设计：如图(a)，在钢板的四个角处各切去一个小正方形，剩余部分围成一个长方体，该长方体的高为小正方形边长，如图(b).(1)请你求出这种切割、焊接而成的长方体的最大容积V1;

(2)由于上述设计存在缺陷(材料有所浪费)，请你重新设计切、焊方法，使材料浪费减少，而且所得长方体容器的容积V2V1.解：(1)设切去正方形边长为x，则焊接成的长方体的底面边长为4-2x，高为x，V1=(4-2x)2x=4(x3-4x2+4x)(0

V1=4(3x2-8x+4).令V1=0，得x1=，x2=2(舍去).而V1=12(x-)(x-2)，又当x 时，V10;当 当x= 时，V1取最大值.(2)重新设计方案如下：

如图①，在正方形的两个角处各切下一个边长为1的小正方形;如图②，将切下的小正方形焊在未切口的正方形一边的中间;如图③，将图②焊成长方体容器.新焊长方体容器底面是一长方形，长为3，宽为2，此长方体容积V2=321=6，显然V2V1.故第二种方案符合要求.●思悟小结

1.函数知识可深可浅，复习时应掌握好分寸，如二次函数问题应高度重视，其他如分类讨论、探索性问题属热点内容，应适当加强.2.数形结合思想贯穿于函数研究的各个领域的全部过程中，掌握了这一点，将会体会到函数问题既千姿百态，又有章可循.●教师下载中心

教学点睛

数形结合和数形转化是解决本章问题的重要思想方法，应要求学生熟练掌握用函数的图象及方程的曲线去处理函数、方程、不等式等问题.拓展题例

【例1】 设f(x)是定义在[-1，1]上的奇函数，且对任意a、b[-1，1]，当a+b0时，都有 0.(1)若ab，比较f(a)与f(b)的大小;

(2)解不等式f(x-)

(3)记P={x|y=f(x-c)}，Q={x|y=f(x-c2)}，且PQ=，求c的取值范围.解：设-1x1

0.∵x1-x20，f(x1)+f(-x2)0.f(x1)-f(-x2).又f(x)是奇函数，f(-x2)=-f(x2).f(x1)

f(x)是增函数.(1)∵ab，f(a)f(b).(2)由f(x-)

2，a-4.(理)g(x)=x+.∵g(x)=1-，g(x)在(0，2]上递减，1-0在x(0，2]时恒成立，即ax2-1在x(0，2]时恒成立.∵x(0，2]时，(x2-1)max=3，a3.【例3】在4月份(共30天)，有一新款服装投放某专卖店销售，日销售量(单位：件)f(n)关于时间n(1n30，nN*)的函数关系如下图所示，其中函数f(n)图象中的点位于斜率为5和-3的两条直线上，两直线的交点的横坐标为m，且第m天日销售量最大.(1)求f(n)的表达式，及前m天的销售总数;

(2)按规律，当该专卖店销售总数超过400件时，社会上流行该服装，而日销售量连续下降并低于30件时，该服装的流行会消失.试问该服装在社会上流行的天数是否会超过10天?并说明理由.解：(1)由图形知，当1nm且nN*时，f(n)=5n-3.由f(m)=57，得m=12.f(n)=

前12天的销售总量为

5(1+2+3++12)-312=354件.(2)第13天的销售量为f(13)=-313+93=54件，而354+54400，从第14天开始销售总量超过400件，即开始流行.设第n天的日销售量开始低于30件(1221.从第22天开始日销售量低于30件，即流行时间为14号至21号.该服装流行时间不超过10天.