高等数学教案ch 8.2 偏导数_高等数学偏导数怎么求

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§82

偏导数

一、偏导数的定义及其计算法

对于二元函数zf(x y) 如果只有自变量x 变化 而自变量y固定 这时它就是x的一元函数 这函数对x的导数 就称为二元函数zf(x y)对于x的偏导数

定义

设函数zf(x y)在点(x0 y0)的某一邻域内有定义 当y固定在y0而x在x0处有增量x时 相应地函数有增量

f(x0x y0)f(x0 y0)

如果极限

limx0f(x0x,y0)f(x0,y0)x

存在 则称此极限为函数zf(x y)在点(x0 y0)处对x的偏导数 记作

zxxx0yy0

fxxx0yy0 zxxx0yy0 或fx(x0,y0)

例如：

fx(x0,y0)limf(x0x,y0)f(x0,y0)xx0

类似地 函数zf(x y)在点(x0 y0)处对y 的偏导数定义为

limy0f(x0,y0y)f(x0,y0)y

记作 zyxx0yy0 fyxx0yy0 zyxx0yy0 或fy(x0 y0)

偏导函数

如果函数zf(x y)在区域D内每一点(x y)处对x的偏导数都存在 那么这个偏导数就是x、y的函数 它就称为函数zf(x y)对自变量x的偏导函数 记作

zx

fx zx 或fx(x,y)

偏导函数的定义式 fx(x,y)limx0f(xx,y)f(x,y)

x

类似地 可定义函数zf(x y)对y的偏导函数 记为

zy fy zy  或fy(x,y)

偏导函数的定义式 fy(x,y)lim求fxy0f(x,yy)f(x,y)y

fy时 只要把y暂时看作常量而对x求导数 求时 只要把x暂时看作常量而对y求导数

讨论 下列求偏导数的方法是否正确？

fx(x0,y0)fx(x,y)xx0 fy(x0,y0)fy(x,y)xx0 yy0yy0

fx(x0,y0)[df(x,y0)]xx fy(x0,y0)[df(x0,y)]yy

dx0dy0

偏导数的概念还可推广到二元以上的函数例如三元函数uf(x y z)在点(x y z)处对x的偏导数定义为

fx(x,y,z)limx0f(xx,y,z)f(x,y,z)

x其中(x y z)是函数uf(x y z)的定义域的内点 它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题

例1 求zx23xyy2在点(1 2)处的偏导数

zz3x2y

解 z2x3y

xyxx121328 y2zyx1y231227

例2 求zx2sin 2y的偏导数

z2x2cos2y

解 z2xsin2y

xy 例3 设zxy(x0,x1) 求证

zxylnx

证 zyxy1

xz1z2zyxlnxy

xy

xz1zxyxyxlnxyyy11xylnxxyxy2zlnx

例4 求rx2y2z2的偏导数

解 rxxxyz222xr ryyxyz222yr

例5 已知理想气体的状态方程为pV=RT(R为常数) 

求证 pVT1

VTppRT 证 因为pRT 2 VVV

VRT VR

pTp

T所以pV TV

pRRpVTRTRVRT21

VTppRpVV

例5 说明的问题 偏导数的记号是一个整体记号 不能看作分子分母之商

二元函数zf(x y)在点(x0 y0)的偏导数的几何意义 

fx(x0 y0)[f(x y0)]x是截线zf(x y0)在点M0处切线Tx对x轴的斜率

fy(x0 y0)[f(x0 y)]y是截线zf(x0 y)在点M0处切线Ty对y轴的斜率

偏导数与连续性 对于多元函数来说 即使各偏导数在某点都存在 也不能保证函数在该点连续 例如

xy22 x y0 f(x,y)xy2

2 200 x  y在点(0 0)有 fx(0 0)0 fy(0 0)0 但函数在点(0 0)并不连续

提示

f(x, 0)0 f(0, y)0

d

fx(0, 0)d[f(x, 0)]0 fy(0, 0)[f(0, y)]0

dxdy

当点P(x y)沿x轴趋于点(0 0)时 有

lim(x,y)(0,0)f(x,y)limf(x, 0)lim00

x0x0

当点P(x y)沿直线ykx趋于点(0 0)时 有

lim(x,y)(0,0)ykxkx2klim22222x0xkxxy1k2xy 

因此 lim(x,y)(0,0)f(x,y)不存在 故函数f(x y)在(0 0)处不连续

类似地 可定义函数zf(x y)对y的偏导函数 记为

f

z  zy  或fy(x,y)

yy偏导函数的定义式 fy(x,y)lim

二

高阶偏导数

y0f(x,yy)f(x,y)y

设函数zf(x y)在区域D内具有偏导数

zfx(x,y) x

zfy(x,y) y

那么在D内fx(x y)、fy(x y)都是x y 的函数 如果这两个函数的偏导数也存在 则称它们是函数zf(x y)的二偏导数 按照对变量求导次序的为同有下列四个二阶偏导数

如果函数zf(x y)在区域D内的偏导数fx(x y)、fy(x y)也具有偏导数

则它们的偏导数称为函数zf(x y)的二阶偏导数 按照对变量求导次序的 不同有下列四个二阶偏导数

z2zz2z()fxy(x,y)()2fxx(x,y)

yxxyxxx

z2zz2z()fyx(x,y)

()2fyy(x,y)

xyyxyyy

z2zz2zfxy(x,y)()fyx(x,y)称为混合偏导数 其中()yxxyxyyxz2z()2xxx2z2zz2z()()   (z)z

2yxxyxyyxyyy 同样可得三阶、四阶、以及n 阶偏导数  二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数

例6 设zxy3xyxy1 32

32z求2x3z、3x2z2z、和

yxxy

解 z3x2y23y3y z2x3y9xy2x

xy23z2

z 6xy6y2

32xx2z2z22

6xy9y1 6x2y9y21 xyyx

2z2z由例6观察到的问题

yxxy2z2z

定理 如果函数zf(x y)的两个二阶混合偏导数及在区域D内连续

yxxy那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等

类似地可定义二元以上函数的高阶偏导数

22z 例7 验证函数zlnx2y2满足方程z0

22xy 证 因为zlnx2y21ln(x2y2) 所以

zxxx2y2 zyyxy22

22y2x22z(xy)x2x2x2(x2y2)2(xy2)2

22x2y22z(xy)y2y2y2(x2y2)2(xy2)2

x2y2y2x22z2z因此 222222220

xy(xy)(xy)

例8．证明函数u1r2u2u2u满足方程2220

xyz 其中rx2y2z2

证 u12r12xx3

xrxrrr

同理

2u13xr13x23435x2rrxrr

2u13y523yrr2213z2 u5

23zrr22u2u2u13x213y13z2因此222(35)(35)(35)xyzrrrrrr22233(xyz)33r23350rr5rr



2x提示 u()23xxrr3x3r(r)r3x3r2xx

66rr