教案7：直线与圆锥曲线的位置关系(2课时)_直线与圆锥曲线教案

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直线与圆锥曲线的位置关系

（一）教学目标

1、知识教学点：使学生掌握点、直线与圆锥曲线的位置及其判定，重点掌握直线与圆锥曲线相交的有关问题．

2、能力训练点：通过对点、直线与圆锥曲线的位置关系的研究，培养学生综合运用直线、圆锥曲线的各方面知识的能力．

3、学科渗透点：通过点与圆锥曲线的位置及其判定，渗透归纳、推理、判断等方面的能力． 重点难点：

重点：直线与圆锥曲线的相交的有关问题．(解决办法：先引导学生归纳出直线与圆锥曲线的位置关系，再加以应用)。2．难点：圆锥曲线上存在关于直线对称的两点，求参数的取值范围．(解决办法：利用判别式法和内点法进行讲解．)3．疑点：直线与圆锥曲线位置关系的判定方法中△=0不是相切的充要条件．(解决办法：用图形向学生讲清楚这一点．)教学过程：(一)问题提出

1．点P(x0，y0)和圆锥曲线C：f(x，y)=0有哪几种位置关系？它们的条件是什么？

引导学生回答，点P与圆锥曲线C的位置关系有：点P在曲线C上、点P在曲线C内部(含焦点区域)、点P在曲线的外部(不含焦点的区域)．那么这三种位置关系的条件是什么呢？这是我们要分析的问题之一． 2．直线l：Ax+By+C=0和圆锥曲线C：f(x，y)=0有哪几种位置关系？

引导学生类比直线与圆的位置关系回答．直线l与圆锥曲线C的位置关系可分为：相交、相切、相离．那么这三种位置关系的条件是什么呢？这是我们要分析的问题之二．(二)讲授新课

1．点M(x0，y0)与圆锥曲线C：f(x，y)=0的位置关系的焦点为F1、F2，y=2px(p＞0)的焦点为F，一定点为P(x0，y0)，M点到抛物线的准线的距离为d，则有：(由教师引导学生完成，填好小黑板)

2上述结论可以利用定比分点公式，建立两点间的关系进行证明． 2．直线l∶Ax＋Bx＋C=0与圆锥曲线C∶f(x，y)＝0的位置关系：

直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为：

注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件． 3．应用

求m的取值范围．

解法一：考虑到直线与椭圆总有公共点，由直线与圆锥曲线的位置关系的充要条件可求．由一名同学演板．解答为：由椭圆方程及椭圆的焦点在x轴上，知：0＜m＜5．

又

∵直线与椭圆总有公共点，即(10k)2-4x(m+5k2)×5(1-m)≥0，亦即5k2≥1-m对一切实数k成立．∴1-m≤0，即m≥1．故m的取值范围为m∈(1，5)．

解法二：由于直线过定点(0，1)，而直线与椭圆总有公共点，所以定点(0，1)必在椭圆内部或边界上，由点与椭圆的位置关系的充要条件易求．

另解：由椭圆方程及椭圆的焦点在x轴上知：0＜m＜5．又∵直线与椭圆总有公共点． ∴ 直线所经过的定点(0，1)必在椭圆内部或边界上．

故m的取值范围为m∈(1，5)，小结：解法一由直线与圆锥曲线的位置关系的充要条件求，思路易得，但计算量大；解法二由点与圆锥曲线的位置关系的充要条件求，思路灵活，且简捷．

称，求m的取值范围．

解法一：利用判别式法．

并整理得：

∵直线l′与椭圆C相交于两点，解法二：利用内点法．

设两对称点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P1P2的中点为M(x0，y0)，∴y1+y2=3(x1+x2)．(1)

小结：本例中的判别式法和内点法，是解决圆锥曲线上存在两点关于直线的对称的一般方法，类似可解抛物线、双曲线中的对称问题．

练习1：(1)直线过点A(0，1)且与抛物线y2=x只有一个公共点，这样的直线有几条？(2)过点P(2，0)的直线l与双曲线x2-y2=1只有一个公共点，这样的直线有几条？

由学生练习后口答：(1)3条，两条切线和一条平行于x轴的直线；(2)2条，注意到平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，故这样的直线也只有2条．

练习2：求曲线C∶x2+4y2=4关于直线y=x-3对称的曲线C′的方程．

由教师引导方法，学生演板完成．解答为：设(x′，y′)是曲线C上任意一点，且设它关于直线y=x-3的对称点为(x，y)．

又(x′，y′)为曲线C上的点，∴(y+3)2+4(x-3)2=4．∴曲线C的方程为：4(x-3)2+(y+3)2=4．(三)小结：本课主要研究了点、直线与圆锥曲线的三种位置关系及重要条件．(四)布置作业的值．

2．k取何值时，直线y＝kx与双曲线4x2-y2=16相交、相切、相离？

3．已知抛物线x=y2+2y上存在关于直线y=x+m对称的相异两点，求m的取值范围． 作业答案：1．由弦长公式易求得：k=-4

当4-k2=0，k=±2，y=±2x为双曲线的渐近线，直线与双曲线相离当4-k2≠0时，△=4(4-k2)×(-6)；(1)当△＞0，即-2＜k＜2时，直线与双曲线有两个交点；(2)当△＜0，即k＜-2或k＞2时，直线与双曲线无交点；(3)当△=0，即k=±2时，为渐近线，与双曲线不相切。故当-2＜k＜2时，直线与双曲线相交。当k≤-2或k≥2时，直线与双曲线相离。

直线与圆锥曲线的位置关系

（二）教学目标

1、知识教学点：使学生掌握点、直线与圆锥曲线的位置及其判定，重点掌握直线与圆锥曲线相交的有关问题．

2、能力训练点：通过对点、直线与圆锥曲线的位置关系的研究，培养学生综合运用直线、圆锥曲线的各方面知识的能力．

3、学科渗透点：通过点与圆锥曲线的位置及其判定，渗透归纳、推理、判断等方面的能力． 重点难点：

重点：直线与圆锥曲线的相交的有关问题．(解决办法：先引导学生归纳出直线与圆锥曲线的位置关系，再加以应用．)难点：圆锥曲线上存在关于直线对称的两点，求参数的取值范围．(解决办法：利用判别式法和内点法进行讲解．)疑点：直线与圆锥曲线位置关系的判定方法中△=0不是相切的充要条件．(解决办法：用图形向学生讲清楚这一点．)教学过程

（一）基本方法：

1.直线与圆锥曲线的位置关系可以通过对直线方程与圆锥曲线方程组成的二元二次方程组的解的情况的讨论来研究。即方程消元后得到一个一元二次方程，利用判别式⊿来讨论(注⊿≠0时，未必只有二个交点)。

2.直线与圆锥曲线的位置关系，还可以利用数形结合、以形助数的方法来解并决。

3.如果直线的斜率为k，被圆锥曲线截得弦AB两端点坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)则弦长公式为：

（二）基本方法举例

例1.当k为何值时，直线y=kx+k-2 与抛物线 y =4x有两个公共点? 仅有一个公共点? 无公共点。解：由⊿=-16(k-2k-1)1).当⊿>0时，即12k12且k≠0时有两个公共点。2).当⊿=0时，即k13).当 k12或k1得k x +2(k-2k-2)x+(k-2)=0

2或k=0 时，直线与抛物线有一个公共点。2时，直线与抛物线无公共点。

点评：本题利用方程思想及数形结合的思想解决问题。尤其是k=0时直线与抛物线有一个公共点，而k=0时，⊿>0.y2例2.已知：A(-3,4),B(4,4)若线段AB与椭圆xa2没有公共点。求正数a的取值范围。

22解：线段AB的方程为 y=4(-3≤x≤4)

得：x2a28

ⅰ.当a80时，方程组无解，即0a22 ⅱ.当a80时，方程组无解，即或a26 220a22或a26

点评：本例利用了方程的思想对参数的值进行讨论求解。

x2y21及点B(0,-2)过左焦点F 与B的直线交椭圆于 C、D 两点，椭圆的右焦例3.已知：椭圆2点为F2，求⊿CDF2的面积。

解：∵ F1(-1,0)∴ 直线BF1的方程为 y=-2x-2 代入椭圆方程得：9x

又∵ 点F2(1,0)到直线BF1的距离d∴SCDF2216x60

514CDd10 29点评：本题使用了弦长公式及点到直线的距离公式来解决问题，这是一种基本的解题方法。

（三）利用数形结合的思想解题

例4.过点(0，2)的直线l与抛物线 y =4x仅有一个公共点，则满足条件的直线l有(C)A.1条 B.2条 C.3条 D.4条

y2x21总有公共点，求b的取值范围。例5.不论k为何值，直线y=kx+b 与椭圆94解：观察演示可得： b3,3

2y21的右焦点作直线l交双曲线于 A、B两点，|AB|=4 ,则这样的直线存在(C)例6.过双曲线x2A.一条 B.二条 C.三条 D.四条

（四）总结：1.利用基本方法，如对方程组解的讨论、弦长公式等是解决问题的基本方法。2.数形结合、以形助数是我们解决问题的一个重要思想。

（五）作业：

1、直线ykx2交抛物线y28x于A、B两点，若AB的中点横坐标等于2，求AB。

2、已知双曲线C：2x2y22与点P(1,2)，（1）求过P(1,2)点的直线l的斜率k的取值范围，使l与C分别有一个交点、两个交点、没有交点。（2）是否存在过点P 点的弦AB，使A、B中点为P ？（3）若Q(1,1)，试判断以Q点为中点的弦是否存在。

3、如图所示，已知抛物线y24x的顶点为O，点A的坐标为(5,0)，倾斜角为

的直线l与线段OA相交，4（不过点O或点A），且交抛物线于M、N两点，求AMN面积的最大值时l的方程，并求AMN的最大面积。

4、已知圆锥曲线C经过定点P(3,23)，它的一个焦点为F(1,0)，对应于该焦点的准线为x1，过焦点F任意作曲线C的弦AB，若弦AB的长度不超过8，且直线AB与椭圆3x22y22相交与不同的两点，求（1）AB的倾斜角的取值范围。（2）设直线AB与椭圆相交于C、D两点，求CD中点M的轨迹方程。