志愿教学活动教案_志愿活动分享班会教案
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初中数学重要解题方法与思想
换元法
换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。
1．因式分解
例1 将（x2+2x＋4）（x2+2x+6）-8分解因式．
解 设x2＋2x＋4=y，则 x2+2x+6=y＋2．
原式=y（y＋2）-8=y2＋2y-8
=（y＋4）（y－2）．
把y= x2+2x＋4代入上式
原式=（x2＋2x +4＋4）（x2＋2x＋4-2）
=（x2+2x+8）（x2＋2x+2）．
说明：利用换元法，可将原式转化为二次三项式，从而可用因式分解法分解．
2．高次方程
例2 解方程
（x2＋5x+4）（x2＋5x+6）-8=0
解 设x2+5x+4=y
则原方程可化为 y（y＋2）-8=0
解得 y1=-4，y2=2
∴ x2+5x＋4=-4或x2+5x＋4=2
解得(x+5/2)^2=17/4
说明：通过换元法可将高次方程进行降次，使之转化为一元二次方程．
构造法
在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。
反证法
反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。
反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。
归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。
例1．求证：形如4n+3的整数不能化为两整数的平方和。
证明：假设p是4n+3型的整数，且p能化成两个整数的平方和，即p=a^2+b^2，则由p是奇数得a、b必为一奇一偶。不妨设
a=2s+1，b=2t，其中
s、t
为整数，p=a^2+b^2=(2s+1)^2+(2t)^2=4(s^2+s+t^2)+1，这与p是4n+3型的整数矛盾。
例2．证明：△ABC内不存在这样的点P，使得过P点的任意一条直线把△ABC的面积分成相等的两部分。证明：假设在△ABC内存在一点P，使得过P点的任一条直线把△ABC的面积分成相等的两部分。
连接AP、BP、CP并分别延长交对边于D、E、F。由假设，S△ABD=S△ADC，于是D为BC的中点。
同理E、F分别是AC、AB的中点，从而P是△ABC的重心。过P作BC的平行线分别交AB、AC于M、N，则
这与假设过P点的任一条直线把△ABC的面积分成相等的两部分矛盾。
数形结合思想
几何图形的形象直观，便于理解，代数方法的一般性，解题过程的机械化，可操作性强，便于把握，因此数形结合思想是数学中重要的思想方法，它可以培养学生思维的灵活性，形象性和深刻性。所谓数形结合思想就是在研究问题时把数和形结合考虑或者把问题的数量关系转化为图形的性质，或者把图形的性质转化为数量关系，从而使复杂问题简单化，抽象问题具体化。
例
1、已知一次函数y＝kx＋b(k、b是常数，k≠0)，x与y的部分对应值如下表所示，那么不等式kx＋b＜0的解集是（）A、x＜0
B、x＞0
C、x＜1
D、x＞1
分析：从表中选取两对对应值x＝0，y＝1；x＝1，y＝0作为点的坐标，在平面直角坐标系内画出y＝kx＋b的图象，不等式kx＋b＜0的解集就是直线y＝kx＋b在x轴下方部分所对应的自变量x的取值，由图可知，当y＜0时，x的取值为x＞1，所以不等式kx＋b＜0的解集为x＞1，故选D。
解此题的关键是将它们对应的形与数结合起来，从形的角度看，是求直线在x轴下方所对应的自变量的取值范围，从数的角度看，是求不等式的解集
例2.蜗牛从点O开始沿东西方向的直线爬行，规定向东爬行的路程为正，向西爬行的路程为负，爬过的各段路程（单位：cm）依次为+5，-2，-7，+3，+1。
（1）蜗牛最后是否回到了出发点？
（2）在爬行过程中，若每爬1cm奖励1粒芝麻，则蜗牛一共可得到多少粒芝麻？
解析：（1）把这条直线看成一条数轴，点O为原点，向东为正方向，1个单位长度代表1cm，把蜗牛看成点P，则蜗牛的爬行可看成是点P在数轴上移动。蜗牛爬行的过程就是点P先从原点O向右移动5个单位长度到达点A，再向左移2个单位长度到达点B，再向左移7个单位长度到达点C，又向右移3个单位长度到达点D，最后向右移l个单位长度回到出发点O，如图2。
y1O1x
（2）蜗牛爬行的总路程为|5||2||7||3||1|5273118(cm)。故它可以得到18粒芝麻。
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