数学分析教案 (华东师大版)第十二章 数项级数_数学分析华东师大版

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《数学分析》教案

第十二章 数项级数

教学目的：1.明确认识级数是研究函数的一个重要工具；2.明确认识无穷级数的收敛问题是如何化归为部分和数列收敛问题的；3.理解并掌握收敛的几种判别法，记住一些特殊而常用的级数收敛判别法及敛散性。

教学重点难点：本章的重点是级数敛散性的概念和正项级数敛散性的判别；难点是一般级数敛散性的判别法。

教学时数：18学时

§ 1 级数的收敛性

一． 概念 ：

1． 级数 ：级数，无穷级数;通项(一般项 , 第 项), 前 项部分和等概念(与中学的有关概念联系).级数常简记为

.2.级数的敛散性与和 : 介绍从有限和入手, 引出无限和的极限思想.以在中学学过的无穷等比级数为蓝本 , 定义敛散性、级数的和、余和以及求和等概念.例1 讨论几何级数 的敛散性.（这是一个重要例题！）

解 时,.级数收敛;时, 级数发散;时, ,《数学分析》教案

3.级数与数列的关系 :

对应部分和数列{

},收敛

{

}收敛;对每个数列{ 于是,数列{ }, 对应级数, 对该级数, 有 收敛.=

.}收敛

级数

可见 , 级数与数列是同一问题的两种不同形式.4.级数与无穷积分的关系 : , 其中.无穷积分可化为级数;对每个级数, 定义函数 , 易见有

=.即级数可化为无穷积分.综上所述 , 级数和无穷积分可以互化 , 它们有平行的理论和结果.可以用其中的一个研究另一个.二.级数收敛的充要条件 —— Cauchy准则 ：把部分和数列{

}收敛的Cauchy准则翻译成级数的语言，就得到级数收敛的Cauchy准则.Th(Cauchy准则)

.收敛

和

N, 由该定理可见, 去掉或添加上或改变(包括交换次序)级数的有限项 , 不会影响级数的敛散性.但在收敛时 , 级数的和将改变.去掉前

项的级数表为 或

.《数学分析》教案

性质2

和

收敛，收敛, 且有

=、.问题 :、三者之间敛散性的关系.收敛 , 则任意加括号后所得级数也收敛 ,且和不变.(收敛数列满足结合律)性质3 若级数 例8 考查级数 该例的结果说明什么问题 ?

从开头每两项加括号后所得级数的敛散性.§ 2 正项级数

一.正项级数判敛的一般原则 :

1.正项级数 : 2.基本定理 : Th 1 设 散时, 有.则级数,收敛

.且当

发

↗;任意加括号不影响敛散性..(证)正项级数敛散性的记法.3.正项级数判敛的比较原则 : Th 2 设则

ⅰ>,

;

和

是两个正项级数 , 且

时有，= ⅱ>

=,及 时

《数学分析》教案

ⅰ> 若，;ⅱ> 若，=

.证 ⅰ> 不妨设 时就有

成立 , 有

依次相乘 , , 即

.由 , 得 ，.ⅱ> 可见

往后递增 ,.推论(检比法的极限形式)设则 ⅰ>

为正项级数 , 且,.;ⅱ> > 或 =

.(证)註 倘用检比法判得

=, 则有.检比法适用于 和 有相同因子的级数,特别是

中含有因子

者.例4 判断级数 的敛散性.《数学分析》教案

检根法适用于通项中含有与 有关的指数者.检根法优于检比法.例7 研究级数 的敛散性.解 ，.例8 判断级数

和的敛散性.解 前者通项不趋于零 , 后者用检根法判得其收敛.3． 积分判别法 ：

Th 5 设在区间 积分

上函数

且↘.则正项级数

与

共敛散.证 对

且

.例9 讨论 级数的敛散性.解 考虑函数

积分当

时收敛 ,时收敛 , 时发散.0时

在区间 时发散.上非负递减.级数

当

时, , 级数发散.《数学分析》教案

解 时, ,(或).……

例2 判断级数的敛散性 , 其中.解 时 , 有;时 ，.例3 设数列

有界.证明

.证 设

.例4 设 且数列

有正下界.证明级数

.证 设

.例5.若, 则

.证;又

.例6 设 例7 设

.若级数和

收敛 ,则级数

收敛..证明

《数学分析》教案

有效的方法是利用等价无穷小判别法.例10

设函数 证明:

在点

有连续的二阶导数, 且

.试

⑴

若, 则级数 发散.⑵

若, 则级数 收敛.（2002年西北师大硕士研究生入学试题）

解 把函数 公式, 有间.在点

展开成带二阶Lagrange型余项的Maclaurin, 介于 与 之

⑴

若 数.有 ,则当 充分大时

不变号, 可认为

是同号级 ∽, 发散.⑵

若 内有界, 设 注意到 在点

连续,在点的某邻域, 有 |

|=

., 收敛.3

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一.交错级数 : 交错级数 , Leibniz型级数.Th 1(Leibniz)Leibniz型级数必收敛 , 且余和的符号与余和首项相同 , 并有

.证(证明部分和序列 的两个子列 和

收敛于同一极限.为此先证明 递增有界.), ↗;又, 即数列

有界.由单调有界原理, 数列

收敛.设

...由证明数列

有界性可见 ,.余和

亦为型级数,余和 与 同号, 且

.例1 判别级数的敛散性.解 时 , 由Leibniz判别法, 收敛;时, 项 , 发散.二.绝对收敛级数及其性质 :

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ⅱ> 反设不真 , 即.由 =.而

和= ,中至少有一个收敛 , 不妨设以及,与

和, 收敛 ,条件收敛矛盾.⑶ 绝对收敛级数的可重排性: 更序级数的概念.Th 4 设且= 是.的一个更序.若, 则,证 ⅰ> 若 互相控制.于是 ,，则，和

是正项级数 , 且它们的部分和可以, 且和相等.ⅱ> 对于一般的.正项级数由, =.和, =

分别是正项级数和 =, 和

=的更序., 据Th 1 ， 且有

收敛.由上述ⅰ>所证 , 有,=, 由该定理可见 , 绝对收敛级数满足加法交换律.是否只有绝对收敛级数才满足加法交换律呢 ? 回答是肯定的.Th 5(Riemann)若级数), 存在级数的更序

条件收敛 , 则对任意实数(甚至是 , 使得

=.证 以Leibniz级数

为样本 , 对照给出该定理的证明.关于无穷和的交换律 , 有如下结果:

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.证 注意到 , 有

.分部求和公式是离散情况下的分部积分公式.事实上 ,.可见Abel变换式中的相当于上式中的, 而差 相当于, 和式相当于积分.引理2(Abel)设有，则、和

如引理1.若

.单调 , 又对,证 不妨设 ↘.9

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不妨设 ↘0 ,对

.此时就有

.由Cauchy收敛准则 , 收敛.取 ↘0 ， 由Dirichlet判别法 , 得交错级数

收敛.可见Leibniz判别法是Dirichlet判别法的特例.由Dirichlet判别法可导出 Abel判别法.事实上 , 由数列 界 , 收敛 , 设

单调趋于零 , 敛, 级数

↘0.证明级数

有界,级数

.考虑级数

收敛 , 又级数

单调有, 收

收敛.例4 设 收敛.和

对

证，时，.可见 得级数时, 级数的部分和有界.由Dirichlet判别法推

收敛.收敛.同理可得级数数

《数学分析》教案的敛散性.解 从首项开始,顺次把两项括在一起, 注意到

以及 级数

例5 设级数

收敛.证明级数

收敛.,所论级数发散., 证.由Abel或Dirichlet判法, 收敛.例6, 判断级数的敛散性.解., 现证 级数

收敛 : 因

时不, 又 ↘ , 由Dirichlet判法,级数

收敛.故本题所论级数发散.例7 判断级数的绝对收敛性.解 由Dirichlet判法,得级数收敛.但.仿例6 讨论,知本题所论级数条件收敛.3

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证法二 ，收敛.↘ ,.由Dirichlet判法,