数学分析教案_(华东师大版)第十七章__多元函数微分学_数学分析华东师大版
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《数学分析》教案
第十七章 多元函数微分学
教学目的：1.理解多元函数微分学的概念，特别应掌握偏导数、全微分、连续及偏导存在、偏导连续等之间的关系；2.掌握多元函数特别是二元函数可微性及其应用。
教学重点难点：本章的重点是全微分的概念、偏导数的计算以及应用；难点是复合函数偏导数的计算及二元函数的泰勒公式。教学时数：18学时
§ 1 可微性
一． 可微性与全微分：
1．可微性： 由一元函数引入.亦可写为, 时
2．全微分:
.例1 考查函数
二.偏导数:
在点
处的可微性.P107例1 1.偏导数的定义、记法:
2.偏导数的几何意义: P109 图案17—1.《数学分析》教案
不存在.三.可微条件:
1.必要条件:
Th 1 设为函数定义域的内点.在点可微 , 和
存在 , 且
.(证)由于 , 微分记为
.定理1给出了计算可微函数全微分的方法.两个偏导数存在是可微的必要条件 , 但不充分.例10
考查函数
在原点的可微性.[1]P110 例5.2.充分条件:
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因此 , 即, 在点 可微 ,.但
时, 有, 沿方向
不存在,沿方向
极限
不存在;又 ,因此, 续.由 关于 和 对称,也在点
不存在 ,时,在点
处不连
处不连续.四.中值定理:
Th 4 设函数 在点 该邻域 , 则存在, 使得的某邻域内存在偏导数.若 和,属于.(证)例1
2设在区域D内
.证明在D内
.五.连续、偏导数存在及可微之间的关系：
六.可微性的几何意义与应用：
《数学分析》教案
简介二元复合函数 :
.以下列三种情况介绍复合线路图
;,;
.一.链导法则: 以“外二内二”型复合函数为例.Th 设函数
在点
在点
可微, 且
在点 D可微 , 函数
可微 , 则复合函数,.(证)P118
称这一公式为链导公式.该公式的形式可在复合线路图中用所谓“分线加，沿线乘”或“并联加，串联乘”）来概括.对所谓“外三内二”、“外二内三”、“外一内二”等复合情况，用“并联加，串 联乘”的原则可写出相应的链导公式.《数学分析》教案
.P120例2 例7
设函数
可微 ,.求证
.二.复合函数的全微分: 全微分和全微分形式不变性.例8
.P122 例5
.利用全微分形式不变性求, 并由此导出
和
§ 3 方向导数和梯度
一． 方向导数：
1． 方向导数的定义：
定义 设三元函数 在点 为从点 以表示 出发的射线.的某邻域 为 上且含于
内有定义.内的任一点 , 与 两点间的距离.若极限
存在 , 则称此极限为函数、.在点
沿方向 的方向导数 , 记为
或
《数学分析》教案
2.方向导数的计算:
Th 若函数 在点 方向导数都存在 , 且
可微 , 则 在点
处沿任一方向 的 +
+, 其中、和 ,为 的方向余弦.(证)P125
+, 其中 和 对二元函数 是 的方向角.註
由 = 可见 , 为向量
+
+,=, , , ， ,在方向 上的投影.例2(上述例1)解 ⅰ> 的方向余弦为
=, =, =.=1 , =
+., =
.因此 , =
+
=
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ⅰ>
.ⅱ>（+)=
+
.ⅲ>（）=
+
.ⅳ>.ⅴ>
()=
.证ⅳ> ,..§ 4 Taylor公式和极值问题
一、高阶偏导数: 1.高阶偏导数的定义、记法：
例9 求二阶偏导数和
.P128
例10.求二阶偏导数.P1282.关于混合偏导数: P129—131.3
《数学分析》教案
解 ,.=
+
+
+
= = +2
+
.=
+
+
+
= =
+
+
.=
+ +
.因此 ，+（+.令 , 或
.或 ……, 此时方程
化简为
二． 中值定理和泰肋公式：
凸区域.5
《数学分析》教案
例2 P136例5 2． 极值的必要条件：与一元函数比较.Th 3 设 =为函数 的极值点.则当
和存在时 , 有
.(证)函数的驻点、不可导点，函数的可疑点.3.极值的充分条件:
代数准备: 给出二元(实)二次型 矩阵为
.其.ⅰ> 是正定的, 顺序主子式全，是半正定的, 是负定的,顺序主子式全;ⅱ> , 其中
为 阶顺序主子式.是半负定的，.ⅲ>
《数学分析》教案
ⅰ>
时 , 时 ,为极小值点;ⅱ> 为极大值点;ⅲ> 时 , 不是极值点;ⅳ> 时 , 可能是极值点 , 也可能不是极值点.例3—7 P138—140 例6—10.四． 函数的最值：
例8 求函数
在域D = 上的最值.解 令
解得驻点为
..在边界
;
上 ， 驻点为, 在边界
在边界 驻点为 ,上 , , 没有驻点;
上 , ,.9
