数学分析教案 (华东师大版)第十九章 含参量积分_华东师范大学数学分析

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《数学分析》教案

第十九章 含参量积分

教学目的：1.掌握含参量正常积分的概念、性质及其计算方法；2.掌握两种含参量反常积分的概念、性质及其计算方法；3.掌握欧拉积分的形式及有关计算。教学重点难点：本章的重点是含参量积分的性质及含参量反常积分的一致收敛性的判定；难点是一致收敛性的判定。教学时数：12学时

§ 1含参量正常积分

一.含参积分: 以实例

和

引入.定义含参积分 和

.含参积分提供了表达函数的又一手段.我们称由含参积分表达的函数为含参积分.1.含参积分的连续性:

Th19.5 若函数

在Th19.8 若函数 和 在在矩形域

上连续 , 则函数

上连续.(证)P172

在矩形域

上连续, 函数 在上连续.上连续 , 则函数(证)P173

2.含参积分的可微性及其应用:

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1.含参无穷积分: 函数 可以是无穷区间).以 分表示的函数

.定义在上（为例介绍含参无穷积 2.含参无穷积分的一致收敛性: 逐点收敛(或称点态收敛)的定义: 使

.， 引出一致收敛问题.定义(一致收敛性)设函数, 使

分在(关于)一致收敛.定义在 对

上.若对

成立, 则称含参无穷积Th 19.5(Cauchy收敛准则)积分收敛，在上一致

对 成立.例1 证明含参量非正常积分

其中.但在区间

在上一致收敛 ,内非一致收敛.P180

3.含参无穷积分与函数项级数的关系:

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Th 19.8 设函数 和

在则函数 在在上连续.若积分

在.上收敛, 积分上可微,且

一致收敛.3.可积性: 积分换序定理.Th 19.9 设函数

在有

例3 计算积分

P186

.在上一致收敛, 则函数

上连续.若积分

在上可积 , 且四.含参瑕积分简介:

§ 3 Euler积分

本节介绍用含参广义积分表达的两个特殊函数 , 即 和.它们统称为Euler积分.在积分计算等方面, 它们是很有用的两个特殊函数.一.Gamma函数 —— Euler第二型积分：

1.Gamma函数: 考虑无穷限含参积分 ,《数学分析》教案

但 在区间

内闭一致收敛.即在任何 时, 对积分, 有

上 , , 而积分

一致收敛.因为

收敛.对积分 , 积分, 而积分

收敛.由M—判法, 它上一致收敛.们都一致收敛,在区间

作类似地讨论, 可得积分敛.于是可得如下结论: 的连续性:

也在区间

内闭一致收

在区间 在区间

内连续.的可导性: 内可导, 且

同理可得: 在区间

.内任意阶可导, 且

3.凸性与极值: ,.在区间 在区间

内严格下凸.(参下段), 内唯一的极限小值点(亦为最小值点)介于1与2 之间.4.的递推公式

函数表:

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5.时, 有意义.用其作为

内., 又可把 依此 , 可把 延拓到函数的延拓:

时 该式右端在的定义, 即把 延拓到了 , 利用延拓后的 内.时也

时, 依式

延拓到 内除去的所有点.经过如此延拓后的 例1 求

.)解的图象如 P192图表19—2., ,.(查表得),..6.函数的其他形式和一个特殊值:

函数.倘能如此, 可某些积分可通过换元或分部积分若干次后化为 查 函数表求得该积分的值.常见变形有: ⅰ> 令, 有

=,考虑.《数学分析》教案

: 非负，和, 时为正常积分;

时, 点

为瑕点.由被积函数(由Cauchy判法)积分

收敛.(易见

时积分

发散).数非负, : 时为正常积分;

时, 点

为瑕点.由被积函

和 ,(由Cauchy判法)积分

收敛.(易见

时积分

发散).综上, 时积分,收敛.设D

于是, 积分 定义了D内的一个二元函数.称该函数为Beta函数, 记为, 即

不难验证,=

函数在D内闭一致收敛.又被积函数在D内连续, 因此 , 函数是D内的二元连续函数.2.函数的对称性:

.证 =

《数学分析》教案, 因此得 ,.ⅱ> 令, 可得，.特别地 , ，.ⅲ> 令, 有

=

=, 即 ，ⅳ> 令, 可得

.ⅴ> ,.三.函数和

函数的关系:

函数和

函数之间有关系式，3

《数学分析》教案

解 ，.例4 求积分

解 令 , 有

.I

.例5 计算积分.解

判敛 ,把该积分化为, 该积分收敛.(亦可不进行

函数在其定义域内的值 , 即判得其收敛.)

I

.例6 , 求积分,5