(数学分析教案)第二章_数学分析教案第一章

(数学分析教案)第二章由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“数学分析教案第一章”。

第二章 数列极限

（14学时）

§1 数列极限概念

教学目的与要求

1.理解数列极限概念并利用定义证明数列是否收敛.2.掌握无穷小数列概念并利用其证明数列是否收敛于指定的常数.教学重点: 数列极限概念.教学难点: 数列极限概念、利用数列极限定义证明数列是否收敛于指定的常数.学时安排: 4学时

教学方法：讲练结合。教学程序：

若函数f的定义域为全体正整数集合N+，则称

f:NR

或

f(n), nN

为数列．因正整数集N+的元素可按由小到大的顺序排列，故数列f(n)也可写作

a1,a2,,an,,或简单地记为{an}，其中an，称为该数列的通项．

关于数列极限，先举一个我国古代有关数列的例子．

例

1古代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其含义是：一根长为一尺的木棒，每天截下一半，这样的过程可以无限制地进行下去．

把每天截下部分的长度列出如下(单位为尺)：

1112n第一天截下2，第二天截下2，„„，第n天截下2，„„这样就得到一个数列

1111n,2,,n,222．或2.11nn不难看出，数列{2}的通项2随着n的无限增大而无限地接近于0．一般地说，对于数列{an}，若当n无限增大时an能无限地接近某一个常数a，则称此数列为收敛数列，常数a称为它的极限．不具有这种特性的数列就不是收敛数列．

收敛数列的特性是“随着n的无限增大，an无限地接近某一常数a”．这就是说，当n充分大时，数列的通项an与常数a之差的绝对值可以任意小．下面我们给出收敛数列及其极限的精确定义．

定义1 设{an}为数列，a为定数．若对任给的正数，总存在正整数N，使得当，n>N时有|ana|则称数列

{an收敛于a，定数a称为数列{an}的极限，并记作limanan，或ana(n).读作“当n趋于无穷大时，an的极限等于a或an趋于a”．

若数列{an}没有极限，则称{an}不收敛，或称{an}为发散数列．

定义1常称为数列极限的—N定义．下面举例说明如何根据N定义来验证数列极限．

10nn例

2证明，这里为正数 lim证

由于

110|,n

n111故对任给的>0，只要取N=，则当nN时，便有

|111|0|.N

n

即n

1lim0这就证明了nn.例

3证明

3n2lim23nn3

.分析

由于

3n299|2|2

n3n3n

(n3).(1)

9n因此，对任给的>o，只要，便有

3n2|23|, n3

(2)

9n时，(2)式成立．又由于(1)式是在n≥3的条件下成立的，故应取 即当

9Nmax{3,}.

据分析，当nN时有（2）式成立.于是本题得证.证

任给0,取注

本例在求N的过程中，(1)式中运用了适当放大的方法，这样求N就比较方便．但应注意这种放大必须“适当”，以根据给定的E能确定出N．又(3)式给出的N不一定是正整数．一般地，在定义1中N不一定限于正整数，而只要它是正数即可．

例4 证明n9Nmax{3,}.limqn=0，这里|q|

证

若q=0，则结果是显然的．现设0

h11|q|，则h>0．

|qn0||q|n

并由(1h)1+nh得到

n1,n(1h)

|q|n11.1nhnh

(4)

对任给的0,只要取就证明了nN1,nh则当nN时，由（4）式得|q0|.这

limqn0.注

本例还可利用对数函数ylgx的严格增性来证明(见第一章§4例6的注及(2)式)，简述如下：

对任给的>0(不妨设

nlg|q|lg

即

nnnlglg|q|

（这里也假定0|q|1).N于是，只要取lglg|q|即可。

=1，其中a>0．

1n

例5 证明nlimna1证

(ⅰ)当a1时，结论显然成立.(ⅱ)当a1时，记a1，则0.由

a(1)1n1n(a1)

n1n得

任给0，由(5)式可见，当

a11na1n.(5)

时，就有a1，即|a1|.所以

1nna1N1nlimna1n.１(ⅲ)当0a1时，,1nna－１11(1)n1n1n1naa

则0.由a111a11ana11.1n1a1n1a

（6）

得任给0，由（6）式可见，当

n１a11N时，就有1a，即|a1|.1n1n所以n.关于数列极限的—N定义，应着重注意下面几点：

1．的任意性

定义1中正数的作用在于衡量数列通项an与定数a的接近程度，愈小，表示接近得愈好；而正数可以任意地小，说明an与a可以接近到任何程度．然而，尽管有其任意性，但一经给出，就暂时地被确定下来，以便依靠它来求出N，又既时limna1任意小的正数，那么2,3或2等等同样也是任意小的正数，因此定义1中不等式|ana|中的可用2,3或2等来代替．同时，正由于是任意小正数，我们可限定小于一个确定的正数(如在例4的注给出的证明方法中限定



2．N的相应性

一般说，N随的变小而变大，由此常把N写作N()，来强调N是依赖于的；但这并不意味着N是由所唯一确定的，因为对给定的，比如当N=100时，|ana｜＜也可改写成|ana|.n>N时有|ana|，则N=101或更大时此不等式自然也成立．这里重要的是能使得当•N的存在性，而不在于它的值的大小．另外，定义1中的，n>N也可改写成nN．

3．从几何意义上看，“当n>N时有|aa|”意味着：所有下标大于N的项aｎ都落在邻域U(a;)内；而在U(a;)之外，数列{an}中的项至多只有N个(有限个)．反之，任给>0，若在U(a;)之外数列{an}中

N，则当n>N时有anU(a,)，即当n>N时有|ana|

定义1

任给>0，若在U(a,)之外数列an中的项至多只有有限个，则称数列an收敛于极限a． 'n

由定义1，可知，若存在某０0，使得数列{an}中有无穷多个项落在U(a,0)之外，则{an}一定不以a为极限．

例6 证明{n}和{(1)}都是发散数列．

2证

对任何aR，取01，则数列{n}中所有满足na1的项(有无穷多个)显然2n都落在U(a;0)之外，故知{n}不以任何数a为极限，即{n}为发散数列.22nn1(a;)(1)}{(1)}中的所有奇数00a1

至于数列{，当时取，则在U之外有

10|a1|,n2项；当a1时取则在U（a;0)之外有{(1)}中的所有偶数项．所以{(1)}不以任何数a为极限，即{(1)}为发散数列．

例7 设nnnlimxnlimynan，做数列{zn}如下：

{zn}:x1,y1,x2,y2,,xn,yn,.证明nlimzna.n

证，因nlimxnlimyna,故对任给的0，数列{xn}和{yn}中落在U(a;)之外的项都至少只有有限个.所以数列{zn}中落在U(a;)之外的项也至多只有有限个．故由定义1'，证得nlimzna．

例8 设{an}为给定的数列，{bn}为对{an}增加、减少或改变有限项之后得到的数列．证明：数列{bn}与{an}同时为收敛或发散，且在收敛时两者的极限相等．

证

设{an}为收敛数列，且nlimana．按定义1，对任给的>0，数列{an}中落在'U(a;)之外的项至多只有有限个．而数列{bn}是对{an}增加、减少或改变有限项之后得到{bn}中的每一项都是{an}中确定的一项，的，故从某一项开始，所以{bn}中落在U(a;)之外的项也至多只有有限个．这就证得nlimbna．

现设{an}发散．倘若{bn}收敛，则因{an}可看成是对{bn}增加、减少或改变有限项之后得到的数列，故由刚才所证，{an}收敛，矛盾．所以当{an}发散时，{bn}也发散．

在所有收敛数列中，有一类重要的数列，称为无穷小数列，其定义如下：

定义2 若n，则称{an}为无穷小数列．

由无穷小数列的定义，不难证明如下命题：

定理2.1数列{an}收敛于a的充要条件是：{ana}为无穷小数列． Ⅳ 小结与提问:本节要求学生理解数列极限概念，利用定义证明数列是否收敛、是否收敛于指定的常数.要求学生课堂上给出nliman0limana和nliman不存在的“—N”定义.Ⅴ 课外作业: P２７2、3、4、6、7、8.§２ 收敛数列的性质

教学目的：熟悉收敛数列的性质；掌握求数列极限的常用方法。教学要求：（１）使学生理解并能证明数列性质、极限的唯一性、局部有界性、保号性、保不等式性；

（２）掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理，并会用这些定理求某些收敛数列的极限。

教学重点：迫敛性定理及四则运算法则及其应用。教学难点：数列极限的计算。学时安排: 4学时

教学方法：讲练结合。教学程序：

 引 言

上节引进“数列极限”的定义，并通过例题说明了验证n的方法，这是极限较基本的内容，要求掌握。为了学习极限的技巧及其应用极限来解决问题。还需要对数列的性质作进一步讨论。

limana

一、收敛数列的性质

性质１（极限唯一性）若数列性质２（有界性）若数列an收敛，则它只有一个极限。

nan收敛，则an为有界数列。

(1)注：有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分重要条件。例如数列有界，但它不收敛。

性质３（保号性）若nlimana0（或a0），则对任何a(0,a)（或a(a,0)），存在正数Ｎ，使得当nN时有ana（或ana）。性质４（保不等式性）设数列an与bn均收敛，若存在正数N0，使得当nN0时有anlimbnanbn，则limnn。

limanlimbnn思考：如果把条件“anbn”换成“anbn”，那么能否把结论换成n？

保不等式性的一个应用：

limanalimanaa0(n1,2,3,)nn例1 设，证明：若，则n.思考：极限运算与一般函数运算可交换次序吗？ 性质５（迫敛性）设收敛数列can、bn都以a为极限，数列n满足：存在正数N0，limcnacnNacbn0nnn当时有，则数列收敛，且n.注：迫敛性不仅给出了判定数列收敛的一种方法，而且也提供了一个求数列极限的工具。

下面是其应用一例：

n的极限。例2 求数列n性质６（极限的四则运算法则）若

an、bn为收敛数列，则anbn,anbn,anbn也都收敛，且有

lim(anbn)ablimanlimbnnnn;lim(anbn)ablimanlimbnnnn.anlimbn0bb0若再做假设n及n，则数列n也收敛，且有

ananalimnlimnbblimbnnn.nn特别地，若bnc，则n，n.在求数列的极限时，常需要使用极限的四则运算法则。下举几例；

lim(anc)limanclimcanclimanamnmam1nm1a1na0limk1nbnkbnb1nb0，其中mk,am0,bk0.kk1例3 求alimnna1n例4 求，其中a1.例5 求nlimn(n1n).111lim222nn(n1)(2n).例6 求二

数列的子列

１． 引言

极限是个有效的分析工具。但当数列an的极限不存在时，这个工具随之失效。这能说明什么呢？难道n没有一点规律吗？当然不是！出现这种情况原因是我们是从“整个”数列的特征角度对数列进行研究。那么，如果“整体无序”，“部分”是否也无序呢？如果“部分”有序，可否从“部分”来推断整体的性质呢？简而言之，能否从“部分”来把握“整体”呢？这个“部分数列”就是要讲的“子列”。２． 子列的定义

a定义１

设

an为数列，nk为正整数集N的无限子集，且n1n2n3kn，则数列 an1,an2,,ank,

称为数列an的一个子列，简记为ank.an的子列ank的各项都来自an且保持这些项在an中的的an中取出无限多项，按照其在an中的顺序排成一个数列，就注

1由定义可见，先后次序。简单地讲，从是an的一个子列（或子列就是从an中顺次取出无穷多项组成的数列）。

注2 子列a中的n表示ankknk是kan中的第nk项，k表示 ank是ank中的第k项，ka中的第k项就是a中的第n项，故总有naa.即即nknaan，k.特别地，若nkk，则nknkn注3 数列an本身以及an去掉有限项以后得到的子列，称为an的平凡子列；不是平凡子列的子列，称为an的非平凡子列。

an与它的任一平凡子列如2k2k1都是n的非平凡子列。由上节例知：数列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限。a,aa那么数列an的收敛性与的非平凡子列的收敛性又有何关系呢？此即下面的结果：

an收敛an的任何非平凡子列都收敛。定理

数列由此定理可见，若数列an的任何非平凡子列都收敛，则所有这些子列必收敛于同一

an个极限。于是，若数列n有一个子列发散，或有两个子列收敛而极限不相等，则数列一定发散。这是判断数列发散的一个很方便的方法。a§3 数列极限存在的条件

教学目的与要求

掌握数列极限存在的单调有界定理、柯西(Cauchy)收敛准则，并会利用它们求极限、证明相关命题

教学重点: 单调有界定理、柯西(Cauchy)收敛准则.教学难点: 单调有界定理、柯西(Cauchy)收敛准则的证明及应用.学时安排: 4学时

教学方法：讲练结合。教学程序：

极限理论的两个基本问题: 极限的存在性问题, 极限的计算问题．本节将重点讨论极限的存在性问题．

为了确定某个数列是否存在极限，当然不可能将每个实数依定义一一验证，根本的办法是直接从数列本身的特征来作出判断．

首先讨论单调数列，其定义与单调函数相仿．若数列an的各项满足关系式

anan1anan1，1an则称为递增（递减）数列．递增数列和递减数列统称为单调数列．如n为递减数列，n1n2n则不是单调数列.n1为n递增数列，而

定理2．9(单调有界定理)在实数系中，有界的单调数列必有极限．

证

不妨设an为有上界的递增数列．由确界原理，数列an有上确界，记an．下面证明a就是an的极限．事实上，任给0，按上确界的定义，存在asup数列an中某一项aN，使得aan．又由an的递增性，当nN时有

aaNan．

另一方面，由于a是an的一个上界，故对一切an都有anaa．所以当nN时有

aana，limana即n．

同理可证有下界的递增数列必有极限，且其极限即为它的下确界． 例1 设

an1其中实数a2．证明数列an收敛．

111,n1,2,,aaa23n

证

显然an是递增的，下证an有上界．事实上，1111111n1n 12232232n21111111223n1n 122n

，1,2,.于是由单调有界定理，an收敛．

an1例2 证明数列

2,22,222,n个根号收敛，并求其极限．

证

记an

222，易见数列an是递增的．现用数学归纳法

来证明an有上界．

显然a122．假设an2，则有an12an222，从而对一切n有an2，即an有上界．

由单调有界定理，数列an有极限，记为a．由于

an12an，2对上式两边取极限得a2a，即有

2a1a20，解得a1或a2． 由数列极限的保不等式性，a1是不可能的，故有：n__lim2222．

例3 设S为有界数集．证明：若supSaS，则存在严格递增数列xnS，使得nlimxna．

__证

因a是S的上确界，故对任给的0,存在xS,使得xa．又因aS，故xa，从而有axa．

现取11，则存在x1S，使得

a1x1a

再取2min,ax1012，则存在x2S，使得

a2x2a，且有x2a2aax1x1．

一般地，按上述步骤得到xn1S之后，取使得

nmin,axn11n，则存在xnS，anxna，且有xnana(axn1)xn1.上述过程无限地进行下去，得到数列{xn}S，它是严格递增数列，且满足

anxnaan|xna|nlimxna1,n1,2,.n

这就证明了n.1lim(1)nn存在.例4 证明n

证先建

b整理后得不等式.n1ba0，对任一正整数n有

an1(n1)bn(ba),an1bn[(n1)anb].（1）

11,b1n1n代入(1)式.由于 以

11(n1)anb(n1)(1)n(1)1n1n

, 1n11(1)(1)nn1n.故有

1{(1)n}n这就证明了为递增数列.1a1,b12n代人(1)式，得

再以a1

故有(n1)anb(n1)n(1n11)2n2.2n1111112n22n

4.n114n上式对一切正整数n都成立,即对一切偶数n有.联系到该数列的单调性，可知

n11114nn有上界．于是由单调有界定理推知对一切正整数n都有，即数列1(1)nn}是收敛的.数列{

n通常用拉丁字母e代表该数列的极限，即

1lim(1)nen

n, 它是一个无理数(待证)，其前十三位数字是.e2.7***.以e为底的对数称为自然对数，通常记

lnxlogex 单调有界定理只是数列收敛的充分条件．

定理2．10(柯西(Cauchy)收敛准则)数列{an}收敛的充要条件是：对任给的0，存在正整数N，使得当n,mN时有

m

n．

这个定理从理论上完全解决了数列极限的存在性问题，它的证明将在第七章给出．柯西收敛准则的条件称为柯西条件，它反映这样的事实：收敛数列各项的值愈到后面，彼此愈是接近，以至充分后面的任何两项之差的绝对值可小于预先给定的任意小正数．或者形象地说，aa收敛数列的各项越到后面越是“挤”在一起．另外，柯西收敛准则把N定义中an与a的关系换成了an与am的关系，其好处在于无需借助数列以外的数a，只要根据数列本身的特征就可以鉴别其(收)敛(发)散性．

例5 证明：任一无限十进小数0.b1b2bn的n位不足近似(n12,)所组成的数列

bb1b1b2bb,2,,122nn,101010

101010

(2)

满足柯西条件(从而必收敛)，其中bk为0,1,2,,9中的一个数，k1,2,.bb1b22nn.101010不妨设nm,则有 证 记bm1bm1bn911(1)m1m2nm1nm1aanm1010101010||=10

1111m(1nm)mm 1010

10an对任给的0,，取N1，则对一切nm.N有

|anam| 这就证明了数列(2)满足柯西条件．

Ⅳ 小结与提问:本节要求学生理解掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限、证明极限的存在性.Ⅴ 课外作业:

P３83、4、6、7、9、11、12.