高一数学函数教案24_高一数学函数教案免费

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2.9 函数应用举例（第二课时）

教学目的：

1．使学生适应各学科的横向联系.2.能够建立一些物理问题的数学模型.3.培养学生分析问题、解决问题的能力.教学重点：数学建模的方法

教学难点：如何把实际问题抽象为数学问题.教学过程：

一、例题

例1（课本第86页 例2）设海拔 x m处的大气压强是 y Pa，y与 x 之间的函数关系式是 ycekx，其中 c，k为常量，已知某地某天在海平面的大气压为1.01105Pa，1000 m高空的大气压为0.90105Pa，求：600 m高空的大气压强。（结果保留3个有效数字）

解：将 x = 0 , y =1.01105；x = 1000 , y =0.90105，代入 ycekx得：

(1)1.01105cek0c1.01105 5k100051000k(2)0.9010ce0.9010ce 将(1)代入(2)得：

0.901051.01105e1000kk10.90ln 10001.014 计算得：k1.15104 ∴y1.01105e1.1510

将 x = 600 代入, 得：y1.01105e1.151044600

计算得：y1.01105e1.1510＝0.943×105(Pa)答：在600 m高空的大气压约为0.943×105 Pa.说明：（1）此题利用数学模型解决物理问题；（2）需由已知条件先确定函数式；（3）此题实质为已知自变量的值，求对应的函数值的数学问题；（4）此题要求学生能借助计算器进行比较复杂的运算.例2在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到a1,a2,„„, an共n个数据，我们规定所测量的物理量的“最佳近似值”a是这样一个量：与其他近似值比较a与各数据差的平方和最小.依次规定，从a1,a2,„„, an推出的a=________.(1994年全国高考试题)分析：此题应排除物理因素的干扰，抓准题中的数量关系，将问题转化为函数求最值问题.解：由题意可知，所求a应使y=(a-a1)2+(a-a2)2+„+(a-an)2 最小 由于y=na2-2(a1+a2+„+an)a+(a12+a22+„+an2)若把a看作自变量，则y是关于a的二次函数，于是问题转化为求二次函数的最小值.因为n＞0,二次函数f(a)图象开口方向向上.1当a=(a1+a2+„+an)，y有最小值.n1所以a=(a1+a2+„+an)即为所求.n说明：此题在高考中是具有导向意义的试题，它以物理知识和简单数学知识为基础，并以物理学科中的统计问题为背景，给出一个新的定义，要求学生读懂题目，抽象其中的数量关系，将文字语言转化为符号语言，即

y=(a-a1)2+(a-a2)2+„+(a-an)2，然后运用函数的思想、方法去解决问题，解题关键是将函数式化成以a为自变量的二次函数形式，这是函数思想在解决实际问题中的应用.例3某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N=N0et,其中N0，λ是正的常数.（1）说明函数是增函数还是减函数；（2）把t表示成原子数N的函数；（3）求N当N=0时，t的值.2解：（1）由于N0＞0,λ＞0，函数N=N0et是属于指数函数y=ex类型的，所以它是减函数，即原子数N的值随时间t的增大而减少（2）将N=N0et写成et=

N N0根据对数的定义有-λt=ln所以t=-1N N01NN11(3)把N=0代入t=(lnN0-lnN)得t=(lnN0-ln0)2211=(lnN0-lnN0+ln2)= ln2.

二、练习：

1．如图，已知⊙O的半径为R，由直径AB的端点B作圆的切线，从圆周上任一点P引该切线的垂线，垂足为M，连AP设AP=x ⑴写出AP+2PM关于x的函数关系式 ⑵求此函数的最值 解：⑴过P作PDAB于D，连PB 设AD=a则x22Ra

x2x2a PM2R

2R2R(lnN-lnN0)=(lnN0-lnN)

x2∴f(x)AP2PMx4R(0x2R)

R1R17R(x)2 R2417R当x时f(x)maxR

42⑵f(x) P D C B A D O A 当x2R时f(x)min2R

2．距离船只A的正北方向100海里处有一船只B，以每小时20海里的速度，沿北偏西60角的方向行驶，A船只以每小时15海里的速度向正北方向行驶，两船同时出发，问几小时后两船相 距最近？

解：设t小时后A行驶到点C，B行驶到点D，则BD=20 BC=100-15t 过D作DEBC于E DE=BDsin60=103t BE=BDcos60=10t ∴EC=BC+BE=100-5t CD=DE2CE2∴t=103t21005t=325t21000t10000

220203时CD最小，最小值为200，即两船行驶小时相距最近。

1313133．一根均匀的轻质弹簧，已知在600N的拉力范围内，其长度与所受拉力成一次函数关系，现测得当它在100N的拉力作用下，长度为0.55m,在300N拉力作用下长度为0.65，那么弹簧在不受拉力作用时，其自然长度是多少？ 解：设拉力是 x N(0≤x≤600)时，弹簧的长度为 y m

0.55100kbk0.0005 设：y = k x + b 由题设： 0.65300kbb0.50 ∴所求函数关系是：y = 0.0005 x + 0.50 ∴当 x = 0时，y = 0.50 , 即不受拉力作用时，弹簧自然长度为 0.50 m。

三、作业：课本P89 习题2.9 4，5，6