微积分复习教案_微积分复习教案

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第一讲极限理论

一基本初等函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性和图象，其中函数图像是重中之重，由函数图像可以轻易的得到函数的其它要素（P17-20）二求极限的各种方法

⑴当f(x)为连续函数时,x0Df,则有limf(x)f(x0)

xx0例1 计算极限limxarcsinx

x22 ⑵设m,n为非负整数,a00,b00则

0,当nma0xma1xm1am1xama0lim,当nm xbxnbxn1b01n1xanb0,当nm 例2 计算极限：⑴ lim973x1 ⑵ 3x22x3

limx2x44x116x⑶用两个重要极限求

①limsinx1（limsinx0，limsinf(x)1）

x0xf(x)0xxf(x)x2 结论：当x0时，x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx，1cosx~。②lim(11)xe（lim(1x)xe，lim(11)f(x)e）

x0xf(x)xf(x)实质：外大内小，内外互倒

例4 计算极限：⑴ lim(12x)⑵ lim(1sinx)

x0x013x1x1 ⑷未定式的极限（000，，0，0，）0 ①罗必达法则

例5 计算极限：

x0limsinxlnx lim(sinx)x lim(x0x011)sinxx②设法消去零因子（分子有理化，分母有理化，分子分母同时有理化等方法）例6 计算极限：⑴ lim1x1 ⑵ lim3x2

x0x1xx1 ③用等价无穷小量代换（切记：被代换的部分和其他部分必须是相乘关系！）例7 计算极限limsinxtanx

x0x2(1cosx)⑸无穷小量乘有界变量仍是无穷小量。

例8 计算极限：⑴ limx2sin1 ⑵ limxcosx

x0x1x2x三连续和间断 1.连续的定义

2.间断点的定义和分类

四闭区间上连续函数的性质（这里有一些证明题值得注意）。

第二讲微分学

一导数概念

导数：f(x)limf(x0x)f(x0)limf(x)f(x0)

x0xx0xxx0左导数：f(x)limf(x0x)f(x0)limf(x)f(x0)x0xx0xxx0右导数：f(x)limf(x0x)f(x0)limf(x)f(x0)x0xx0xxx0 实质：差商的极限。

例1 计算极限：⑴ limh0f(x0h)f(x0)f(x0)f(x0x)⑵ lim

x0hx二各种求导法

⑴导数公式表（P94）和四则运算法则（P85）

例2设f(x)4x3xx45logaxsin2，求f(x)；

例3设f(x)1sinxarctanxcscx，求f(x)，f()；

4x ⑵复合函数的求导（P90）

例4 求下列函数的导数

①f(x)arctane2x ②f(x)etanx ⑶隐函数求导（方法：把y当作x的函数，两边对x求导）

例5 求下列隐函数的导数

①xyey0 ②2y3x5lny ⑷对数求导法（多用于幂指函数和由多因子相乘构成的函数的求导）

例6 求下列函数的导数

① yxsinxx ②y2x1(x1)(32x)⑸由参数方程确定的函数的求导

x(t)重点：由参数方程确定的函数yf(x)的导数为dy(t)；

dx(t)y(t)xln(1t)例7 设，求dy；

dxytarctant三高阶导数

例8 设y2arctanx，求y；例9 设yexxn，求y(n)；四微分

重点：函数yf(x)的微分是dyf(x)dx

例10 设y3x2e2x，求dy；例11设y2xey，求dy；五单调性和极值

重点：⑴由f(x)的符号可以判断出f(x)的单调性；

⑵求f(x)的极值方法：①求出f(x)，令其为零，得到驻点及不可导点，姑且统称为可疑点；②判断在可疑点两侧附近f(x)的符号，若左正右负，则取得极大值；若左负右正，则取得极小值；若同号，则不取得极值。

例12 求函数yxln(x1)的单调区间和极值点。

例13 证明：当0x六最值问题

求函数f(x)在区间[a,b]上的最值之步骤：①求出f(x)，令其为零，得到可疑点（驻点和不可导点），并求出函数在这些点处的取值；②求出函数在区间端点取值f(a)，f(b)；

③比较函数在可疑点和区间端点上的取值，最大者即为最大值，最小者即为最小值。

例14 求下列函数在指定区间上的最值。

⑴f(x)x42x25，[2,3] ⑵yx1，[0,4]

x1七凹凸性和拐点

重点：

⑴凹凸性概念：设f(x)在区间(a,b)内连续，若对x1,x2(a,b)（x1x2），有

2时，恒有xsinx。

f(x1x2f(x1)f(x2)xx2f(x1)f(x2)))（f(1）

2222则称f(x)在(a,b)内是凹函数（凸函数）。（用此定义可以证明一些不等式，见下例）。⑵由f(x)的符号可以判断出f(x)的凹凸性。f(x)为正号则f(x)是凹函数，f(x)为负号则f(x)是凸函数。

⑵判断f(x)的拐点之方法：①求出f(x)，令其为零，得到f(x)等于0的点和f(x)不存在的点；②判断在这些点两侧附近f(x)的符号，若为异号，则该点是拐点；若同号，则该点不是拐点。

例15 求下列函数的凹凸区间和拐点。

⑴yx2x1 ⑵y3x

例16 证明：当x1x2时，必有ax1x2243ax1ax2（a0）。

2第三讲积分学

一不定积分与原函数的概念与性质

⑴原函数：若F(x)f(x)，则称F(x)为f(x)的一个原函数。

⑵不定积分：f(x)的全体原函数称为f(x)的不定积分，即

f(x)dxF(x)c，这里F(x)f(x)

⑶不定积分的性质（P174,共2个）

特别强调：F(x)dxF(x)c；dF(x)F(x)c（切记常数c不可丢）二定积分的概念与性质

⑴定积分概念：

nbaf(x)dxlimf(i)xi

0i1 ⑵定积分和不定积分的区别：定积分是和式的极限，计算结果是个常数；不定积分是由一族函数（被积函数的原函数）构成的集合。

⑶f(x)在[a,b]上可积的必要条件：f(x)在[a,b]上有界；充分条件：f(x)在[a,b]上连续；

⑷定积分的几何意义：设f(x)0，x[a,b]，则f(x)dx表示由xa，xb，y0ab及yf(x)围成的曲边梯形的面积。

⑸定积分的性质（P210,共7个）注意结合定积分的几何意义理解之。

例：⑥若对x[a,b]，有mf(x)M，则有m(ba) ⑦若f(x)在[a,b]上连续，则存在[a,b]，使得满足另：若f(x)是奇函数，则三由变上限积分确定的函数

⑴定义：设f(t)在[a,b]上连续，则称函数

babf(x)dxM(ba)。f(x)dxf()(ba)。

aaaf(x)dx0。

(x)f(t)dt，axb

ax 为变上限积分确定的函数。

⑵求导问题：(x)dx[f(t)dt]f(x)dxax2 例1 求下列函数的导数f(x)。

①f(x)xln4tedt ②f(x)x42t01t2dt

⑶与罗必达法则结合的综合题

例2 求下列极限： ①

tlim0x02sintdtx4sin3tdt ②lim

tedt0x0x3t0x2四求积分的各种方法

⑴直接积分法（两个积分表P174和P185）

cos2x1xx2 例3 计算积分：① ②dx dx2sinxcosxx(1x)⑵第一换元法（凑微分法）

重点：f(x)dxg[(x)](x)dxg[(x)]d(x)

令u(x)整理f(x)g(u)duG(u)cG[(x)]c

常用凑微分公式：xndx1d(xn1)，1dx2d(x)，1dxd(lnx)，sinxdxd(cosx)

n1x积分变量还原xcosxdxd(sinx)，sec2xdxd(tanx)，csc2xdxd(cotx)，secxtanxdxd(secx)，cscxcotxdxd(cscx)。

注意：在定积分的换元法中，要相应调整积分上下限。

例4 计算积分：

①tanxdx ② ⑶第二换元法

重点：20sincos2d ③2x41lnxdx ④(1xlnx)4dx x24x8f(x)dxf[(t)](t)dx dx(t)dt令x(t)g(t)duG(t)cG[1(x)]c 整理f[(t)](t)积分变量还原常用换元方法：

①被积函数中若有naxb，令tnaxb；若有kx和lx，令xt，这里m是k，ml的最小公倍数。

②被积函数中若有a2x2，令xasint； ③被积函数中若有a2x2，令xatant； ④被积函数中若有x2a2，令xasect；

注意：在定积分的换元法中，要相应调整积分上下限。

例5 计算积分：⑴ a0axdx ⑵ 2241dx

1x例6 设f(x)是定义于实数集上的连续函数，证明 ⑴baf(x)dxbcacf(xc)dx，⑵ baf(x)dxba2bf(abx)dx

⑷分部积分法 uvdxuvuvdx

关键：适当选择u，v。选择的技巧有①若被积函数是幂函数乘易积函数，令u为易积函数，v为幂函数。②若被积函数是幂函数乘不易积函数，令u为幂函数，v为不易积函数。

例7 计算积分：arctanxdx

⑸有理分式函数的积分

步骤：①若是假分式，先用分式除法把假分式化为多项式与真分式的和，多项式积分非常容易，下面重点考虑真分式P(x)的积分。

Q(x)②把Q(x)分解成如下形式 Q(x)b0(xa)(xb)(x2pxq)(x2rxs)

这里p24q0，……，r4s0。③把P(x)化为如下形式

Q(x)A A1A2P(x)Q(x)(xa)(xa)1(xa)2 

BB2 B1 1(xb)(xb)(xb)MxNM1xN1M2xN2 2212(xpxq)(xpxq)(xpxq) RxSR1xS1R2xS2 22u12(xrxs)(xrxs)(xrxs)这里Ai,Bi,Mi,Ni,Ri,Si为待定系数，通过对上式进行通分，令等式两边的分子相等，即可解得这些待定系数。

④于是对P(x)的积分就转化成对上面等式的右端积分了，然后再对上式右端积分。

Q(x)x32x2dx

⑵ 例8 计算积分：⑴ 2x2x10五定积分的分段积分问题

例9 计算积分：⑴4x3x25x6dx

0x3dx。⑵sin2xdx

0六定积分的应用：重点是再直角坐标系下求平面图形的面积。

⑴由曲线yf(x)，yg(x)[f(x)g(x)]及直线xa，xb[ab]围成的图形的面积为：S[f(x)g(x)]dx。

ab⑵由曲线x(y)，x(y)[(y)(y)]及直线ya，yb[ab]围成的图形的面积为：S[(y)(y)]dy。

ab例10 求由下列曲线围成的图形的面积。⑴ylnx，y1x，y2； ⑵x0，x2，ysinx，ycosx；

七广义积分

沿着定积分的概念的两个限制条件（积分区间有限和被积函数在积分区间上有界）进行推广，就得到两种类型的广义积分。

⑴第一类广义积分