高等数学(上册)教案17 不定积分的概念和性质_高数定积分的概念教案

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第4章 不定积分

不定积分的概念和性质

【教学目的】：

1.理解原函数的概念；

2.理解不定积分的定义，及几何意义； 3.掌握不定积分的基本公式和性质； 4.会用直接积分法计算不定积分。

【教学重点】： 1.原函数的概念；

2.不定积分的概念及几何意义； 3.不定积分的基本公式和性质。

【教学难点】： 1.基本积分公式；

2.用直接积分法计算不定积分。

【教学时数】：2学时 【教学过程】：

4.1.1原函数与不定积分

定义1 如果在区间I上，可导函数F(x)的导数为f(x)，即F'(x)f(x)或dF(x)f(x)dx（xI），那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数．

如果f(x)有一个原函数，那么f(x)就有无穷多个原函数．

设(x)是f(x)的另一个原函数，则任意的xI，有(x)f(x)．于是

(x)F(x)(x)F(x)f(x)f(x)0所以(x)F(x)C0(C0为某个常数)这表明(x)与F(x)只差一个常数．因此当C为任意常数时，表达式F(x)C 就可以表示f(x)的全体原函数，也就是说，f(x)的全体原函数所组成的集合，即函数族F(x)C|CR．

定义2 如果F(x)是f(x)在某区间上的一个原函数，那么F(x)C（C为任意常数）称为f(x)在该区间上的不定积分．即f(x)dx=F(x)C．其中符号称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量． 由上面的讨论可知，若F(x)是f(x)的一个原函数，那么f(x)dx=F(x)C（C为任意常数）．因此，求函数f(x)的不定积分，只需求出被积函数f(x)的一个原函数再加上积分常数C，求不定积分的方法称为积分法．

从不定积分的定义，即可知不定积分与微分(求导)互为逆运算：

由于f(x)dx是f(x)的原函数，所以[f(x)dx]'f(x)或df(x)dxf(x)dx． 又由于F(x)是F'(x)的原函数，所以F'(x)dxF(x)C或dF(x)F(x)C．

由此可见微分运算(以记号d表示)与求不定积分的运算(简称积分运算以记号表示)是互逆的，记号与d一起时或者抵消，或者抵消后差一常数．

1例3 求dx．

x解 当x0时，由于(lnx)'11，所以lnx是在(0,)内的一个原函数，xx1因此在(0,)内，有 dxlnxC．

x111(1)，所以ln(x)是在(,0)内的一当x0时，由于[ln(x)]'xxx1个原函数，因此在(,0)内 dxln(x)C．

x1把以上结果综合起来，得 dxln|x|C．

x4.1.2不定积分的几何意义

因为不定积分f(x)dx=F(x)C是f(x)的原函数的一般表达式，所以它对应的图形是一族积分曲线，称它为积分曲线族．

积分曲线族F(x)C有如下特点：

（1）积分曲线族中任意一条积分曲线都可以由曲线yF(x)沿y轴方向上、下平移得到；

（2）由于[F(x)C]F(x)f(x)，即横坐标相同的点处，所有曲线的切线都是互相平行的．

4.1.3基本积分公式表

（1）kdxkxC（k为常数）；（2）xdx1x1C； 111xaC，exdxexC；（3）dxln|x|C；（4）axdxxlna（5）cosxdxsinxC；（6）sinxdxcosxC；（7）112dxcsc2xdxcotxC；dxsecxdxtanxC；（8）22sinxcosx（9）11x2dxarcsinxC；（10）1dxarctanxC； 21x（11）cscxcotxdxcscxC；（12）secxtanxdxsecxC．

4.1.4不定积分的性质

性质1 设函数f(x)及g(x)的原函数存在，则

[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx．

性质

2设函数f(x)的原函数存在，k为非零常数，则kf(x)dxkf(x)dx．

例6 求(x33xexe3)dx．

解 (x33xexe3)dxx3dx3xdxexdxe3dx 141xx3exe3xC． 4ln3注意到被积函数中x3是幂函数，3x和ex是指数函数，而e3是常数，它们的积分公式是不同的．

【教学小节】：

通过本节的学习，理解原函数、不定积分的概念及几何意义，熟记基本积分公式，掌握不定积分性质并学会使用直接积分法计算不定积分。

【课后作业】：

无