高中数学竞赛的教案：平面几何 第八讲 圆幂定理_数学竞赛平面几何定理

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数学竞赛辅导讲稿—平面几何

第八讲

圆幂定理

一、知识要点：

1、相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

即：如图，PA·PC=PB·PD ACOBPD2、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆焦点的两条线

段长的比例中项。即：如图，PA2=PB·PC

CBAP3、割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B、C、D，则有 PA·PB=PC·PD。

BAD

CP

二、要点分析：

1、相交弦定理、切割线定理和割线定理统称为圆幂定理。其可统一地表示为：过定点的弦被该点内分（或外分）成的两条线段的积为定值（该点到圆心的距离与圆的半径的22平方差的绝对值），即PAPB定值（OPr）

2、相交弦定理通常是通过相似三角形而得到的，所以，研究圆中一些线段的比例关系总离不开相似三角形。

3、相交弦定理揭示了与圆相关的线段的比例关系，应用较多，特别是在处理有关计算、作比例中项、证明角相等、四点共圆等问题时是重要的理论依据。数学竞赛辅导讲稿—平面几何

三、例题讲解：

例

1、已知：如图，在ABC中，AM、AD分别是其中线和角平分线，⊙ADM交AB于L,交AC于N,求证：BL=CN NLBMDAC

例

2、如图，⊙O1与⊙O2相交于M、N,D是NM的延长线上的一点，O2O1延长线交⊙O1于B、A,AD交⊙O1于C,MN交O2O1、BC于E、G,求证：EM2=ED·EG DCAMGO1EBO2N 例

3、在RtABC中，D在斜边BC上，BD=4DC,一圆过点C，且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G,求证：AD⊥BF AFGDC B数学竞赛辅导讲稿—平面几何

例

4、如图，AB是⊙O中任意一弦，M为AB的中点，过M任作两条弦CD、EF,连接CE、DF分别交AB于G、H,求证：MG=MH(蝴蝶定理)CAMGFHBDE

例

5、ABCD是圆内接四边形，AC是圆的直径，BD⊥AC,AC与BD的交点为E,点F在DA的延长线上，连接BF,点G在BA的延长线上，使得DG∥BF,点H在GF的延长线上,CH⊥GF,证明：B、E、F、H四点共圆。

GHFABDEC数学竞赛辅导讲稿—平面几何

第八讲 圆幂定理练习

班级：_____________姓名：_________________

1、⊙O1与⊙O2外切于点P，过P的直线与⊙O1，⊙O2分别相交于点A、C,AB切⊙O2于B, ⊙O1与⊙O2的半径分别是5、3，则AC：AB=____________.CPO2BO1A2、如图：⊙O与等边ABC交于点D、E、F、G、H、J,如果GF=13,FC=1,AG=2,HJ=7,那么DE=___________.AHGJFBDEC



3、如图：在ABC中，BAC90,D在BC上，F在AC上，G是AB的中点，且满足AG2=AF·AC,BF⊥AD,则BD:DC=_____________.AFGCD B4、AD、AE分别为ABC的角平分线和中线，过点A、D、E的圆和AB、AC分别交于M、N，求证：BM=CN ANMBEDC数学竞赛辅导讲稿—平面几何

5、如图，B是⊙O的切线PA的中点，过B引⊙O的割线与⊙O交于点D、C,PD的延长线交⊙O于E,PC交⊙O于F,求证：AP∥EF ABPOFCED6、(1)、已知，如图，四边形ABCD内接于圆，求证：AB·DC+BC·AD=AC·BD DCAB

（2）、已知，如图，在凸四边形ABCD中，AB·DC+BC·AD=AC·BD，求证：四边形ABCD为圆内接四边形。

DCA

附加题： B

y1x1、集合A={(x,y)}的子集的个数为________ 2y1xabbcca，}，2、已知三个非零实数a,b,c,集合A={记x为集合A的所有元素之cab和，y为集合A的所有元素之积，若x2y，则xy的值是__________.3、集合A={1,3,5,7}，B={2,4,6,8,20},若C={S︱S=a+b,a∈A,b∈B},则集合C的元素个数为__________.