高数1.3教案_高数教案同济

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§１.３ 数列的极限

函数研究两个变量的对应关系，而极限则是研究自变量变化时，因变量的变化趋势。

一.极限思想―割圆术：用圆内接正多边形面积逼近圆面积

圆内接正六边形面积记为A1

十二 A2

二十四 A3

62n1 AnnN

A1,A2,,An,构成一列有次序的数――数列.n→大，AnA(圆面积)。不论n如何大，只要n取定, AnA.设想n，即内接正多边形边数无限增加，在这个过程中，内接正多边形的面积无限接近于圆，同时An→确定的数值（即圆的面积）数学上就称为的极限（n）。

极限方法是高数中一个基本方法。

二.数列的极限定义――xnfn，D为正整数。

1.第一种定义:当项数n无限增大时，如果xn无限接近于一个确定的常数a，则称当n无限增大时xn的极限是a.2.“N”def 当0，不论它多么小，总N0,对于nN的一切xn，恒有xna成立，则limxna.如果数列没有极限，就称是发散的。

n *1.是任意给定（任意性）

*2.N与有关，随给定而选定，一般地越小，N越大，N大到何种程度，取决于使xna成立时xn的项数n的取值，定义中仅要求N有关，并不一定要找出最小的自然数N.*3几何意义：nN时，所有的xn都落在a,a内，即数列只有有限个（最多只有N个）在区间之外。*4利用定义不能直接求极限。

三.极限的证明

1例1 证明lim(1)1

n1n1111，n1 证：0，要使11n1n1111取N[1],则当nN时,有1, 1n1n1 ∴lim(1)1

n1n limxna的证明步骤：

n 1)给定0

2)要使xna,解出NN()3)取N，即N.4)当nN时，有xna

5)下结论。n!例2 证明 limn0

nnn!证：0，要使n0＜，nn!nn111只要n0＝

nnnnnn!11取 N[],则当nN=[]时，有n0

nn!∴limn0 nn 例3 证明.limnn1n0 n1n

证：0，要使只要111,n2

4n1n2n1取N[2]

则当nN时有n1n, 4∴limnn1n0.2n1 例4 设q1，证明等比数列1,q,q,,qn1,的极限是0。

 证：01∵xn0qln取自然对数，解得∴n1，lnqlnn1]，则当nN时有xn0q 取N[1lnq limqnn10。

四.收敛数列的性质

1.极限的唯一性

定理１ 数列不能收敛于两个不同的极限。2.有界性

（1）有界概念：数列xn，若M0，对一切xn有xnM，称xn有界。

（2）收敛数列的有界性

定理2 如果数列xn收敛，那么数列xn一定有界。

若xn无界xn发散。xn有界，则不一定收敛。

如xn1n1,即1,1,1,1,,1n1,

∴数列有界是收敛的必要条件，非充分条件。3.收敛数列与子数列的关系

子数列：在数列xn中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的次序，得到的一个数列为原数列xn的子数列。xn

k定理3 若xn收敛于a，则它的任一子数列也收敛，且极限也是a。

一个发散的数列也可能有收敛的子数列。

小结：本节介绍了数列极限的定义，理解利用定义证明数列的极限，知道收敛数列的有关性质。

