高等数学教案Word版第一章1_高等数学教案第一章

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第一章函数与极限(4课时)Ⅰ 授课题目（章节）

1.1 映射与函数

Ⅱ 教学目的与要求：

1.理解集合、区间、邻域等基本概念，掌握集合的运算及构造法

2.理解函数的概念；明确函数定义有两个要素；依赖关系、定义域；掌握函数表达式的运用

3.了解函数的基本性质；知道判定诸性质的思路 4.掌握将复合函数由外及里分解为简单函数的方法 Ⅲ 教学重点与难点

重点：理解集合、邻域的概念难点：函数的性质 Ⅳ 讲授内容

一.集合1．集合概念

集合是指具有某种特定性质的事物的总体，组成这个集合的事物称为该集合的元素（简称：元）

注：本课程中所有说的集合必须具有明确的界定，即对任何一个对象都可以按标准判断其是否属于所说的“总体”

介绍子集、真子集、空集、集合的相等，等概念 2.集合的运算

集合的基本运算有以下几种：并、交、差、直积介绍全集（基本集）与余集（补集）的概念 3.区间和邻域

设＞0，点X0的领域是指满足XX0的一切实数X的集合。X0称为改邻域的中心，成为该邻域的半径

二.映射

1.定义：设X，Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对X中每个元素x，按法则f，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射，记作f:XY、其中y称为元素x（在映射f下）的像，并记作f(x),即yf（x），而元素x称为元素y（在映射f下）的一个原像

注：映射是指两个集合之间的一种对应关系。判断两集合之间的对应关系是否构成一个映射，关键是抓住两个要点：第一，对于第一个集合中的每一个元素，按照规则能否在另一个集合中找到一个与之对应的元素；第二，对于第一个集合中的每一个元素，第二个集合与之对应的元素是不是唯一的 2.逆映射

定义：设fX到Y的单射，则由定义，对每个yRf，有唯一的xX,适合f（x）y。于是，我们可定义一个从Rf到X的新映射g，即x，这x满足f（x）y。这个映g：RfX，对每个yRf，规定g（y）射g称为f的逆映射，记作f2．复合映射：

定义：设有两个映射g:XY1,f:Y2Z，其中Y1Y2，则由映射g和f可以定出一个从X到Z的对应法则，它将每个xX映成fg（x）Z。显然，这个对应法则确定了一个从X到Z的映射，这个映射称为映射g和f构成的复合映射，记作fg,即fg：XZ，（fg）（x），xX fg（x）三.函数

1.函数的概念

定义：设数集DR，则称映射f：DR为定义在D上的函数，通常简记为 yf（x），xD，其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域，记作Df，即DfD

函数定义中，对每个xD，按对应法则f，总有唯一确定的值y与之对应，这个值称为函数f在x出的函数值，记作f（x），即yf（x）。因变量y与自变量x之间的这种依赖关系，通常称为函数关系。函数值yf（x）的全体所构成的集合称为函数 f的值域，记作Rf或f（D)，即 Rff(D)yyf(x),xD

注：函数的概念中涉及五个因素：（1）自变量（2）定义域（3）应变量（4）对应规律（5）值域；在这五个因素中最重要的是定义域和因变量关于自变量的对应规律，这两者常称为函数的二要素

介绍单值函数与多值函数的概念

例.判断下列各对函数是否相同

（1）f(x)=lnx2 g(x)=2lnx(2)f(x)=1 g(x)=sin2x+cos2x(3)f(x)=|x| g(u)=u2

1,其定义域Df1Rf，值域Rf1X

解：（2）中的f（x）与g（x)相同，（3）中的f（x）与g（x)相同例.求下列函数的定义域

（1）f(x)x134x1 2x5x6x(2)f(x)log2log4log7

(3)f(x)1x21 x解：（1）Dfxx2且x3

（2）Dfxx7

（3）Dfxx0且x2 2.函数的几种特性

（1）函数的有界性（2）函数的单调性(3)函数的奇偶性

定义：教材P12P13 例：判断f(x)lnx21x的奇偶性