高数级数的教案_高数课程教案

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第75、76课时：

【教学目标与要求】

1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念； 2．熟练掌握级数的基本性质及收敛的必要条件； 2．掌握几何级数收敛与发散的条件。

【教学重点】

1、常数项级数收敛、发散的概念及几何级数；

2、级数的基本性质及收敛的必要条件。

【教学难点】

级数的基本性质及收敛的必要条件。

§12 1 常数项级数的概念和性质

一、常数项级数的概念

1．常数项级数的定义

给定一个数列

u1 u2 u3    un    则由这数列构成的表达式u1  u2  u3     un    叫做常数项)无穷级数 简称常数项)级数 记为un 即

n1

n1unu1u2u3    un    

其中第n项u n 叫做级数的一般项

2．级数的部分和 作级数un的前n项和snuiu1u2u3    un

n1i1n称为级数un的部分和

n1

3． 级数敛散性定义 如果级数un的部分和数列{sn}有极限s 即limsns

n1n则称无穷级数un收敛 这时极限s叫做这级数的和

n1并写成sunu1u2u3    un    

n1如果{sn}没有极限 则称无穷级数un发散

n1

余项 当级数un收敛时 其部分和s n是级数un的和s的近似值 它们之间的差值

n1n1

rnssnun1un2    叫做级数un的余项

n1

例1 讨论等比级数(几何级数)

n0aqnaaqaq2    aqn    的敛散性 其中a0 q叫做级数的公比

解 如果q1 则部分和

snaaqaq    aq2n1aaqnaqna

1q1q1qaa

当|q|1时 因为limsn 所以此时级数aqn收敛 其和为

1q1qnn0

当|q|>1时 因为limsn 所以此时级数aqn发散

nn0

如果|q|1 则当q1时 sn na 因此级数aqn发散

n0

当q1时 级数aqn成为

n0

aaaa   

当|q|1时 因为sn 随着n为奇数或偶数而等于a或零

所以sn的极限不存在 从而这时级数aqn也发散

n0a,|q|1综上所述，级数aqn1q

n0|q|1提醒学生一定要熟练记住上述结论！

例2 证明级数

123  n   是发散的

证 此级数的部分和为

sn123    nnn(n1)

2显然 limsn 因此所给级数是发散的

例3 判别无穷级数的收敛性

提示 un111    1   

122334n(n1)111

n(n1)nn

1二、收敛级数的基本性质

性质1 如果级数un收敛于和s 则它的各项同乘以一个常数k所得的级数kun也n1n1收敛 且其和为ks

性质2 如果级数un收敛于和s 则级数kun也收敛 且其和为ks

n1n1

性质3 如果uns 则kunks

n1n1

性质4 如果级数un、vn分别收敛于和s、 则级数(unvn)也收敛 且其和为n1n1n1s

性质5 如果uns、vn 则(unvn)s

n1n1n1

性质6

在级数中去掉、加上或改变有限项 不会改变级数的收敛性

比如 级数1111        是收敛的

122334n(n1)级数100001111        也是收敛的

122334n(n1)级数111        也是收敛的

3445n(n1)

性质7 如果级数un收敛 则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛 且其和n1不变

应注意的问题 如果加括号后所成的级数收敛 则不能断定去括号后原来的级数也收敛

例如 级数

（11)+（11)+  收敛于零 但级数1111  却是发散的

推论 如果加括号后所成的级数发散 则原来级数也发散

级数收敛的必要条件

性质8 如果un收敛 则它的一般项un 趋于零 即limun0

n1n0

应注意的问题 级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件

例

4证明调和级数

n1n123    n    是发散的 111调和级数的敛散性也必须要记熟！

证： 假若级数1收敛且其和为s s是它的部分和

nnn1nn显然有limsns及lims2ns 于是lim(s2nsn)0

n

但另一方面

s2nsn11    111    11

n1n22n2n2n2n21必定发散

n1n故lim(s2nsn)0 矛盾 这矛盾说明级数n小结

1.常数项级数及其敛散性的概念； 2.常数项级数的性质；

教学方式及教学过程中应注意的问题

在教学过程中要注意常数项级数的概念以及重要性质，要结合实例，反复讲解，尤其要熟练的记住等比级数与调和级数的敛散性。

师生活动设计P255:3（2）4（1）（2）（3）作业 P255: 3(3)；4(4),(5)

第77、78、79、80、81、82课时：

【教学目标与要求】

1．熟练掌握正项级数的审敛法（比较判别法、比值判别法、根值判别法和极限判别法），熟练掌握p级数收敛与发散的条件。2．熟练掌握交错级数的莱布尼茨判别法。3．理解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，记住绝对收敛与条件收敛的关系。

【教学重点】

1．正项级数的审敛法（比较判别法、比值判别法、根值判别法和极限判别法），熟练掌握p级数收敛与发散的条件；

2．交错级数的莱布尼茨判别法；3.任意项级数绝对收敛与条件收敛 【教学难点】

1、比较判别法的极限形式；

2、任意项级数敛散性的判别。