第十章____重积分(高等数学教案)_10第十章重积分答案

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高等数学教案

重积分

【教学目标与要求】

1.理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，知道二重积分的中值定理。2.掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法。

3.掌握计算三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算方法。

4.会用重积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、重心、转动惯量、引力等）。

【教学重点】

1.二重积分的计算（直角坐标、极坐标）；

2.三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算。3.二、三重积分的几何应用及物理应用。

【教学难点】

1.利用极坐标计算二重积分； 2.利用球坐标计算三重积分； 3.物理应用中的引力问题。

【教学课时分配】(10学时)第1 次课

§１

第2 次课

§2

第3 次课

§3 第4 次课

§4

第5次课

习题课

【参考书】

[1]同济大学数学系.《高等数学（下）》，第五版.高等教育出版社.[2] 同济大学数学系.《高等数学学习辅导与习题选解》，第六版.高等教育出版社. [3] 同济大学数学系.《高等数学习题全解指南（下）》，第六版.高等教育出版社

高等数学教案

重积分

§10 1 二重积分的概念与性质

【回顾】定积分

设函数yf(x)在区间[a b]上非负、连续 求直线xa、xb、y0 及曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积

(1)分割：用分点ax0x1x2   xn1xn b把区间[a b]分成n个小区间

[x0 x1] [x1 x2] [x2 x3]     [xn1 xn ] 记xixixi1(i1 2     n)

(2)代替：任取i[xi1 xi] 以[xi1 xi]为底的小曲边梯形的面积可近似为

f(i)xi(i1 2     n)

（3）作和：曲边梯形面积A的近似值为

Af()x iii1nn(4)取极限：记max{x1 x2   xn } 所以曲边梯形面积的精确值为

Alim0f()x

iii1则

baf(x)dxAlimf(i)xi0i1n§10 1 二重积分的概念与性质

一、引例

1 曲顶柱体的体积V 设有一立体 它的底面是xOy面上的闭区域D 其侧面为母线平行于z轴的柱面 其顶是曲面zf(x y)非负连续 称为曲顶柱体

若立体的顶是平行于xoy面的平面。

体积=底面积高

现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积

（i）分割：用任意曲线网把D分成n个小区域：

 1  2      n 

分别以这些小闭区域的边界曲线为准线 作母线平行于z轴的柱面 这些柱面把原来的曲顶柱体分为n个细曲顶柱体 高等数学教案

重积分

（ii）代替：在每个 i中任取一点( i   i) 以f( i   i)为高而底为 i的平顶柱体的体积为

f( i   i)i

(i1 2     n)

（iii）近似和：整个曲顶柱体体积V

Vf(i,i)i

i1n分割得越细, 则右端的近似值越接近于精确值V, 若分割得“无限细”, 则右端近似值会无限接近于精确值V.（iv）取极限：记 max{i的直径},1in

其中i的直径是指i中相距最远的两点的距离。则

Vlimf(i,i)i 其中(i,i)i

0i1n2 平面薄片的质量

当平面薄板的质量是均匀分布时,质量 = 面密度×面积.若平面薄板的质量不是均匀分布的.这时, 薄板的质量不能用上述公式算, 应如何算该薄板的质量M? 设有一平面薄片占有xOy面上的闭区域D 它在点(x y)处的面密度为(x,y) 这里(x,y)非负连续 现在要计算该薄片的质量M

（i）分割：用任意一组曲线网把D分成n个小区域：

 1  2      n 

（ii）代替：把各小块的质量近似地看作均匀薄片的质量

mi( i   i) i 

（iii）近似和：各小块质量的和作为平面薄片的质量的近似值

M(i,i)i

i1n高等数学教案

重积分

将分割加细 取极限 得到平面薄片的质量（iv）取极限：

记 max{的直径},i1in

则

Mlim(i,i)i

0i1n两个问题的共性：(1)解决问题的步骤相同：

“分割, 代替, 近似和,取极限”

(2)所求量的结构式相同

曲顶柱体体积:

Vlimf(i,i)i

0i1n平面薄片的质量:

Mlim(i,i)i

0i1n二、二重积分的定义及可积性

定义：设f(x y)是有界闭区域D上的有界函数 将闭区域D任意分成n个小闭区域

 1  2      n 

其中 i表示第i个小区域 也表示它的面积 在每个 i上任取一点( i i) 作和

f(i,i)i

i1n如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时 这和的极限总存在 则称此极限为函数f(x y)在闭区域D上的二重积分 记作

f(x,y)d 即

limf(i,i)i f(x,y)d0i1Dnf(x y)被积函数 f(x y)d被积表达式 d面积元素 x y积分变量 D积分区域 积分和

直角坐标系中的面积元素

如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D 那么除了包含边界点的一些小闭区域外 其余的小闭区域都是矩形闭区域 设矩形闭区域i的边长为xi和yi 则ixiyi 因此在直角坐标系中 有时也把面积元素d 记作dxdy 而把二重积分记作高等数学教案

重积分

f(x,y)dxdy

D其中dxdy叫做直角坐标系中的面积元素

二重积分的几何意义 如果f(x y)0 被积函数f(x y)可解释为曲顶柱体的在点(x y)处的竖坐标 所以二重积分的几何意义就是柱体的体积 如果f(x y)是负的 柱体就在xOy 面的下方 二重积分的绝对值仍等于柱体的体积 但二重积分的值是负的

说明：当函数f(x y)在闭区域D上连续时 则f(x y)在D上的二重积分必存在。于是我们总假定函数f(x y)在闭区域D上连续，所以f(x y)在D上的二重积分都是存在的。例1.利用二重积分定义计算：三.二重积分的性质

设D为有界闭区域，以下涉及的积分均存在。性质1 xydxdy，其中D{(x,y)|0x1,0y1}。

D[f(x,y)g(x,y)]df(x,y)dg(x,y)d

DDD性质2 设k为常数，则性质3 kf(x,y)dkf(x,y)d

DD1dd|D|，其中(|D|为D的面积)

DD性质4 设DD1D2，且D1,D2无公共内点，则

f(x,y)df(x,y)df(x,y)d

DD1D2性质5.若在D上 f(x y)g(x y) 则

f(x,y)dg(x,y)d

DD特殊：（1）若在D上f(x,y)0，则

f(x,y)d0

（2）|f(x,y)d||f(x,y)|d

这是因为|f(x,y)|f(x,y)|f(x,y)|

性质6 设M、m分别是f(x y)在闭区域D上的最大值和最小值 |D|为D的面积 则

高等数学教案

重积分

m|D|f(x,y)dM|D|

性质7(二重积分的中值定理)设函数f(x y)在闭区域D上连续  为D的面积 则在D上至少存在一点(,)D，使

例2.比较下列积分的大小：f(x,y)df(,)

D(xy)d，(xy)d，DD23其中D{(x,y)|(x2)2(y1)22}

小结

1.二重积分的定义：

nf(,)f(x,y)dlimD0iii1i)，(ddxdy2.二重积分的性质（与定积分性质相似）

教学方式及教学过程中应注意的问题

在教学过程中要注意二重积分的定义，性质以及应用，并且要与定积分的定义、性质进行比较，要结合实例，反复讲解。

师生活动设计

1.比较下列积分值的大小关系：I12xy1|xy|dxdy，I22|x||y|1|xy|dxdy，I31111|xy|dxdy

22(sinxcosy)d2，其中D为0x1,0y1。D2.证明：1讲课提纲、板书设计

作业 P137: 4（1）（3），5（1）（4）

§10 2 二重积分的计算法高等数学教案

重积分

一、利用直角坐标计算二重积分

X型区域

D 

1(x)y2(x) axb 

Y 型区域 D 

1(x)y2(x) cyd 

混合型区域

设f(x y)0

D{(x y)| 1(x)y2(x) axb}

此时二重积分柱体的体积

对于x0[a b]

曲顶柱体在xx0的截面面积为以区间[1(x0) 2(x0)]为底、以曲线zf(x0 y)为曲边的曲边梯形 所以这截面的面积为

A(x0)2(x0)10f(x,y)d在几何上表示以曲面zf(x y)为顶 以区域D为底的曲顶D(x)1f(x0,y)dy

根据平行截面面积为已知的立体体积的方法 得曲顶柱体体积为

V即

V可记为

aA(x)dxa[(x)b2(x)a1(x)bb2(x)f(x,y)dy]dx

f(x,y)d[Dbf(x,y)dy]dx

f(x,y)dadx(x)D12(x)f(x,y)dy

类似地 如果区域D为Y 型区域

D  1(x)y2(x) cyd 

则有

f(x,y)ddyDcd2(y)1(y)f(x,y)dx

例1 计算xyd 其中D是由直线y

1、x2及yx所围成的闭区域

解 画出区域D

方法一

可把D看成是X型区域 1x2 1yx  于是

422y2x1xx1293[]

[x]dx(xx)dxxyd[xydy]dx1112112428212x2D注 积分还可以写成xyddxxydyxdxydy

D11112x2x高等数学教案

重积分

解法2 也可把D看成是Y型区域 1y2 yx2  于是

422y3x22y29xyd1[yxydx]dy1[y2]ydy1(2y2)dy[y8]18 222D

例2 计算yD1x2y2d 其中D是由直线y

1、x1及yx所围成的闭区域

解

画出区域D 可把D看成是X型区域 1x1 xy1 于是

11[(1x2y2)2]1dx11(|x|31)dx y1xyddxy1xydyx1x3131221122D31(x31)dx

302

也可D看成是Y型区域：1y1 1x

y1x2y2dydyD1D1y11x2y2dx

例3 计算

2xyd 其中D是由直线yx2及抛物线yx所围成的闭区域



解积分区域可以表示为DD1+D2

其中D, xyx D2: 1x4, 2yx 于是 1: 0x1

xyddxD021xxxydydx14xx2xydy

积分区域也可以表示为D 1y2 y2xy2 于是

xyd1dyyDy222x12[y(y2)2y5]dy

2xydx[y]y2dyy122126y443152y2

[y2y]15

24368讨论积分次序的选择

例

4求两个底圆半径都等于的直交圆柱面所围成的立体的体积

解

设这两个圆柱面的方程分别为

x2y2 2及x2z2 2 高等数学教案

重积分

利用立体关于坐标平面的对称性 只要算出它在第一卦限部分的体积V1 然后再乘以8就行了

第一卦限部分是以D{(x y)| 0yR2x2, 0x}为底 以zR2x2顶的曲顶柱体

于是

V8DRxd8dx022RR2x20R2x2dy8[R2x2y]0R0R2x2dx

16R3

22(Rx)dx03 二

利用极坐标计算二重积分

8R

有些二重积分 积分区域D 的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便 且被积函数用极坐标变量、 表达比较简单

这时我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分

limf(i,i)i

f(x,y)d 按二重积分的定义f(x,y)d0DnDi

1下面我们来研究这个和的极限在极坐标系中的形式

以从极点O出发的一族射线及以极点为中心的一族同心圆构成的网将区域D分为n个小闭区域 小闭区域的面积为

111222(ii)iiiii

i2其中i表示相邻两圆弧的半径的平均值

在i内取点(i , i) 设其直角坐标为( i  i)

则有

i(ii)2ii2i(2ii)ii

ii cosi ii sini

limf(i cosi,i sini)i ii

f(i,i)i0i1i1nn于是 lim0即

f(x,y)df(cos,sin)dd

DD若积分区域D可表示为 1() 2()

 高等数学教案

重积分

则

f(cos,sin)dddD2()1()f(cos,sin)d

讨论如何确定积分限?

f(cos,sin)ddd0D2D0()f(cos,sin)d

f(cos,sin)dddxeD2()0f(cos,sin)d

例5 计算域 y2dxdy 其中D是由中心在原点、半径为a 的圆周所围成的闭区

解

在极坐标系中 闭区域D可表示为

0a  0 2 

于是 exD2y2adxdyedd[ed]d [1e]0d

0002D22a22(1ea)

注 此处积分

122022d(1ea)

dxdy

2exD22y2dxdy也常写成x2y2a2exy2

利用x2y2a2xey2dxdy(1ea)计算广义积分exdx

022

设D1{(x y)|x2y2R2 x0 y0} D2{(x y)|x2y22R2 x0 y0}S{(x y)|0xR 0yR}

显然D1SD2 由于ex

2y20 从则在这些闭区域上的二重积分之间有不等式

2exD12y2dxdyexSy2dxdyexD22y2dxdy

因为

exS2y2dxdyexdxeydy(exdx)2

000R2R2R2又应用上面已得的结果有高等数学教案

重积分

exD12y2dxdy(1eR)

42exD22y2dxdy(1e2R)

42于是上面的不等式可写成(1eR2)(Rex2dx)2(1e2R2)

404令R 上式两端趋于同一极限

 从而ex2dx

4 02

例6 求球体x2y2z24a2被圆柱面x2y22ax所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积

解

由对称性 立体体积为第一卦限部分的四倍

V4D4a2x2y2dxdy

其中D为半圆周y2axx2及x轴所围成的闭区域

在极坐标系中D可表示为

02a cos  0于是

V4 

22acos2d00D4add4224a22d

32322

a22(1sin3)da2()

03323

小结

1.二重积分化为累次积分的方法；

2.积分计算要注意的事项。

教学方式及教学过程中应注意的问题

在教学过程中要注意二重积分化为累次积分的方法：分直角坐标和极坐标，以及在计算时要注意事项，要结合实例，反复讲解。

师生活动设计

1.设f(x)C[0,1]，且f(x)dxA，求Idxf(x)f(y)dy。

00x1112.交换积分顺序I22dacos0f(r,)dr，(a0)

讲课提纲、板书设计高等数学教案

重积分

作业 P154: 1(2),(4);2(1),(3);6(2),(4);12(1),(3);13(3),(4);14(1),(2)；15（1）（2）

§103

三重积分一、三重积分的概念

定义设f(x y z)是空间有界闭区域上的有界函数 将任意分成n个小闭区域：

v1 v2     vn

其中vi表示第i个小闭区域 也表示它的体积 在每个vi上任取一点(i i i) 作乘积f(

i  i  i)vi(i1 2    n)并作和

f(i,i,i)vi 如果当各小闭区域的直径中的最大值i1n趋于零时

这和的极限总存在

则称此极限为函数f(x y z)在闭区域上的三重积分 记作f(x,y,z)dv

即

高等数学教案

重积分

limf(i,i,i)vi

f(x,y,z)dv0i1n

三重积分中的有关术语 ——积分号

f(x y z)——被积函数

f(x y z)dv——被积表达式

dv体积元素

x y z——积分变量

——积分区域

在直角坐标系中 如果用平行于坐标面的平面来划分 则vixi yizi  因此也把体积元素记为dv dxdydz 三重积分记作

f(x,y,z)dvf(x,y,z)dxdydz



当函数f(x y z)在闭区域上连续时 极限limf(i,i,i)vi是存在的

0i1n因此f(x y z)在上的三重积分是存在的 以后也总假定f(x y z)在闭区域上是连续的

三重积分的性质 与二重积分类似

比如

[c1f(x,y,z)c2g(x,y,z)]dvc1f(x,y,z)dvc2g(x,y,z)dv



12f(x,y,z)dvf(x,y,z)dvf(x,y,z)dv

12

dvV 其中V为区域的体积 二、三重积分的计算

1 利用直角坐标计算三重积分

三重积分的计算 三重积分也可化为三次积分来计算 设空间闭区域可表为

z1(x y)zz2(x y) y1(x)yy2(x) axb

则

f(x,y,z)dv[z(x,y)D1z2(x,y)f(x,y,z)dz]d

dxbay(x)[z(x,y)11by2(x)z2(x,y)f(x,y,z)dz]dy f(x,y,z)dz

dxay(x)1y2(x)dyz2(x,y)z1(x,y)高等数学教案

重积分

即 f(x,y,z)dvdxaby2(x)y1(x)dyz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz

其中D : y1(x) y y2(x) axb 它是闭区域在xOy面上的投影区域

提示 设空间闭区域可表为

z1(x y)zz2(x y) y1(x)yy2(x) axb

计算f(x,y,z)dv

基本思想

对于平面区域D

y1(x)yy2(x) axb内任意一点(x y) 将f(x y z)只看作z的函数 在区间[z1(x y)

z2(x y)]上对z积分 得到一个二元函数F(x y)

F(x,y)z2(x,y)1z(x,y)f(x,y,z)dz

然后计算F(x y)在闭区域D上的二重积分 这就完成了f(x y z)在空间闭区域上的三重积分

F(x,y)d[DD1z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]ddxaby2(x)y1(x)[z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]dy

则 f(x,y,z)dv[z(x,y)Dz2(x,y)f(x,y,z)dz]d

z2(x,y)

1dxbay(x)[z(x,y)1by2(x)f(x,y,z)dz]dy f(x,y,z)dz

f(x,y,z)dz

dx即

ay(x)1y2(x)dyz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dvadxy(x)dyz(x,y)11by2(x)z2(x,y)其中D : y1(x) y y2(x) axb 它是闭区域在xOy面上的投影区域

例1 计算三重积分域

解作图 区域可表示为:

0z1x2y 0y(1x) 0x1 xdxdydz 其中为三个坐标面及平面x2yz1所围成的闭区12高等数学教案

重积分

于是

xdxdydz 0dx11x1x2y2dyxdz 00

0xdx11x2(1x2y)dy0

111

(x2x2x3)dx4048

讨论 其它类型区域呢?

有时 我们计算一个三重积分也可以化为先计算一个二重积分、再计算一个定积分 设空间闭区域{(x y z)|(x y)Dz c1 zc2} 其中Dz是竖坐标为z 的平面截空间闭区域所得到的一个平面闭区域 则有

f(x,y,z)dvcdzf(x,y,z)dxdy

1c2Dz2y2z2x

例2 计算三重积分zdxdydz 其中是由椭球面2221所围成的空间闭

abc2区域

解空间区域可表为: x2y21z 2 c zc

ab2c2于是

2zzdxdydz zdzdxdyab(12)z2dz4abc3

cc15cD2c2zc

练习：

例3 将三重积分If(x,y,z)dxdydz化为三次积分 其中

(1)是由曲面z1x2y2 z0所围成的闭区域

(2)是双曲抛物面xyz及平面xy10 z0所围成的闭区域

(3)其中是由曲面zx22y2及z2x2所围成的闭区域

例4 将三重积分If(x,y,z)dxdydz化为先进行二重积分再进行定积分的形式

其中由曲面z1x2y2 z0所围成的闭区域

2 利用柱面坐标计算三重积分

设M(x y z)为空间内一点 并设点M在xOy面上的投影P 的极坐标为P( ) 则这样的三个数、、z就叫做点M的柱面坐标 这里规定、、z的变化范围为 高等数学教案

重积分

0

坐标面0   0 zz0的意义

点M 的直角坐标与柱面坐标的关系

xcos

xcos ysin zz  ysin

zz

柱面坐标系中的体积元素 dvdddz

简单来说 dxdydd  dxdydzdxdydzdd dz

柱面坐标系中的三重积分

f(x,y,z)dxdydzf(cos,sin,z)dddz



例5利用柱面坐标计算三重积分围成的闭区域

解闭区域可表示为

2z4 02 02

于是

zdxdydz 其中是由曲面zxy与平面z4所

2zdxdydzzdddz

1d(164)d ddzdz0020201164

2[826]2026

324222

3 利用球面坐标计算三重积分

设M(x y z)为空间内一点 则点M也可用这样三个有次序的数r、、 来确定 其中 r为原点O与点M间的距离 为OM与z轴正向所夹的角 为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到有向线段OP的角 这里P为点M在xOy面上的投影 这样的三个数r、、 叫做点M的球面坐标 这里r、、 的变化范围为

0r

坐标面rr0 0 0的意义，点M的直角坐标与球面坐标的关系

xrsincos

xrsincos yrsinsin zrcos  yrsinsin

zrcos高等数学教案

重积分

球面坐标系中的体积元素

dvr2sindrdd 

球面坐标系中的三重积分

f(x,y,z)dvf(rsincos,rsinsin,rcos)r2sindrdd



例6 求半径为a的球面与半顶角为的内接锥面所围成的立体的体积

解该立体所占区域可表示为

0r2acos 0 02

于是所求立体的体积为

Vdxdydzr2sindrdddd22acos000r2sindr

20sind2acos0r2dr

316a

33034cossind4a(1cosa)

3提示 球面的方程为x2y2(za)2a2 即x2y2z22az 在球面坐标下此球面的方程为r22arcos 即r2acos

小结

1.三重积分的定义和计算； 2.换元积分公式。

教学方式及教学过程中应注意的问题

在教学过程中要注意三重积分的定义和计算以及换元积分公式的应用，要结合实例，反复讲解。

师生活动设计

1.将If(x,y,z)dv用三次积分表示，其中由六个平面x0,x2,y1,x2y4,zx,z2所围成，f(x,y,z)C()。

2.设由锥面z2I(xyz)dv x2y2和球面x2y2z24所围成，计算讲课提纲、板书设计

作业 P164: 4，5，7，9（1）高等数学教案

重积分

§10 4 重积分的应用

一、曲面的面积

设曲面S由方程 zf(x y)给出 D为曲面S在xOy面上的投影区域 函数f(x y)在D上具有连续偏导数fx(x y)和fy(x y) 现求曲面的面积A 

在区域D内任取一点P(x y) 并在区域D内取一包含点P(x y)的小闭区域d 其面积也记为d 在曲面S上点M(x y f(x y))处做曲面S的切平面T 再做以小区域d的边界曲线为准线、母线平行于z轴的柱面 将含于柱面内的小块切平面的面积作为含于柱面内的小块曲面面积的近似值 记为dA 又设切平面T的法向量与z轴所成的角为  则

dAd1f2(x,y)f2(x,y)d

xycos这就是曲面S的面积元素

于是曲面S 的面积为 AD1fx2(x,y)fy2(x,y)d 高等数学教案

重积分

或

AD1(z)2(z)2dxdy

xy

设dA为曲面S上点M处的面积元素 dA在xOy面上的投影为小闭区域d M在xOy面上的投影为点P(x y) 因为曲面上点M处的法向量为n(fx fy 1) 所以

dA|n|d1fx2(x,y)fy2(x,y)d

提示 dA与xOy面的夹角为(n^ k) dAcos(n^ k)d

nk|n|cos(n^ k)1 cos(n^ k)|n|1

讨论 若曲面方程为xg(y z)或yh(z x) 则曲面的面积如何求？

ADyz1(x)2(x)2dydz

yz1(y2y2)()dzdx

zx或

ADzx其中Dyz是曲面在yOz面上的投影区域

Dzx是曲面在zOx面上的投影区域

例1 求半径为R的球的表面积

提示

yzxzzzR  1()2()2

222222222xyxyRxyRxyRxy

解球面的面积A为上半球面面积的两倍

上半球面的方程为zR2x2y2 而

yzxz 

222222xyRxyRxy所以

A22xy2R21(z)2(z)2

xy2RdR dxdy2Rd2222200RRxyR0

22xy2R2

4RR22 4R2

例2设有一颗地球同步轨道通讯卫星 距地面的高度为h36000km 运行的角速度与高等数学教案

重积分

地球自转的角速度相同 试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比值(地球半径R6400km)

二、质心

设有一平面薄片 占有xOy 面上的闭区域D 在点P(x y)处的面密度为(x y) 假定(x y)在D上连续 现在要求该薄片的质心坐标

在闭区域D上任取一点P(x y) 及包含点P(x y)的一直径很小的闭区域d(其面积也记为d) 则平面薄片对x轴和对y轴的力矩(仅考虑大小)元素分别为

dMxy(x y)d dMyx(x y)d

平面薄片对x轴和对y轴的力矩分别为

Mxy(x,y)d Myx(x,y)d

设平面薄片的质心坐标为(x, y) 平面薄片的质量为M 则有

xMMy yMMx 

于是

xMyMx(x,y)dD(x,y)dD yMxMy(x,y)dD(x,y)dD

提示 将P(x y)点处的面积元素d看成是包含点P的直径得小的闭区域 D上任取一点P(x y) 及包含的一直径很小的闭区域d(其面积也记为d) 则平面薄片对x轴和对y轴的力矩(仅考虑大小)元素分别为

讨论 如果平面薄片是均匀的 即面密度是常数 则平面薄片的质心(称为形心)如何求？

求平面图形的形心公式为

xd

xDyd

yDdDdD

例3 求位于两圆2sin 和4sin 之间的均匀薄片的质心

解因为闭区域D对称于y轴 所以质心C(x, y)必位于y轴上 于是x0 高等数学教案

重积分

因为

2ydsinddsindDD4sin02sin2d7

d22123

Dyd所以yDD77 所求形心是C(0, 7)

3d3

3类似地 占有空间闭区域、在点(x y z)处的密度为(x y z)(假宽(x y z)在上连续)的物体的质心坐标是

x1M1 x(x,y,z)dvyM1 y(x,y,z)dvzMz(x,y,z)dv



其中M(x,y,z)dv



例4 求均匀半球体的质心

提示

 0ra 0 02

22adv22d00drsindr2sinddr2dr2a

00003a2zdv02d0242a1a132drcosrsindrsin2ddrdr2

0002420a2

三、转动惯量

设有一平面薄片 占有xOy面上的闭区域D 在点P(x y)处的面密度为(x y) 假定(x y)在D上连续 现在要求该薄片对于x轴的转动惯量和y轴的转动惯量

在闭区域D上任取一点P(x y) 及包含点P(x y)的一直径很小的闭区域d(其面积也记为d) 则平面薄片对于x轴的转动惯量和y轴的转动惯量的元素分别为

dIxy2(x y)d  dI yx2(x y)d 

整片平面薄片对于x轴的转动惯量和y轴的转动惯量分别为

Ixy2(x,y)d Iyx2(x,y)d

DD高等数学教案

重积分

例5 求半径为a 的均匀半圆薄片(面密度为常量)对于其直径边的转动惯量

解取坐标系如图 则薄片所占闭区域D可表示为

D{(x y)| x2y2a2 y0} 而所求转动惯量即半圆薄片对于x轴的转动惯量Ix 

Ixy2d2sin2dd



其中M0sin d02a4a2dsin d

4031a41Ma2

4241a2为半圆薄片的质量

2类似地 占有空间有界闭区域、在点(x y z)处的密度为(x y z)的物体对于x、y、z轴的转动惯量为

Ix

Iy

Iz(y2z2)(x,y,z)dv

22(zx)(x,y,z)dv (x2y2)(x,y,z)dv



例6 求密度为的均匀球体对于过球心的一条轴l的转动惯量

解取球心为坐标原点 z轴与轴l重合 又设球的半径为a 则球体所占空间闭区域

{(x y z)| x2y2z2a2}

所求转动惯量即球体对于z轴的转动惯量Iz 

Iz(x2y2) dv



(r2sin2 cos2r2sin2 sin2)r2sindrdd



8a52a2M

4rsindrdddsin drdr0005154323a其中M4a3为球体的质量

3提示

x2y2r2sin2cos2r2sin2 sin2r2sin2

四、引力

我们讨论空间一物体对于物体外一点P0(x0 y0 z0)处的单位质量的质点的引力问题 高等数学教案

重积分

设物体占有空间有界闭区域 它在点(x y z)处的密度为(x y z) 并假定(x y z)在上连续

在物体内任取一点(x y z)及包含该点的一直径很小的闭区域dv(其体积也记为dv) 把这一小块物体的质量dv近似地看作集中在点(x y z)处 这一小块物体对位于P0(x0 y0 z0)处的单位质量的质点的引力近似地为

dF(dFx,dFy,dFz)

(G其中(x,y,z)(xx0)r3dv,G(x,y,z)(yy0)r3dF

dv,G(x,y,z)(zz0)r3dv)

dFx、dFy、dFz为引力元素

在三个坐标轴上的分量

r(xx0)2(yy0)2(zz0)2 G为引力常数 将dFx、dFy、dFz在上分别积分 即可得Fx、Fy、Fz 从而得F(Fx、Fy、Fz)

例7设半径为R的匀质球占有空间闭区域{(x y z)|x2y2z2R2) 求它对于位于点M0(0 0 a)(a>R)处的单位质量的质点的引力

解设球的密度为0 由球体的对称性及质量分布的均匀性知Fx=Fy=0, 所求引力沿z轴的分量为

FzG0zadv

[x2y2(za)2]3/ G0RRRR(za)dzdxdy 2223/2[xy(za)]x2y2R2z22R2z22

G0(za)dzd0Rd[(za)]23/20

2G011(za)()dz R22azR2aza1R(za)dR22aza2]

aR32R

2G0(2R2R2)

3a4R31GM

G 023aa2

2G0[2R高等数学教案

重积分

其中M4R30为球的质量

3上述结果表明 匀质球对球外一质点的引力如同球的质量集中于球心时两质点间的引力

小结

1.曲面面积的计算；

2.质心的计算；

3.转动惯量的定义和求解。

教学方式及教学过程中应注意的问题

在教学过程中要注意曲面面积的计算，质心的计算，转动惯量的定义和求解，要结合实例，反复讲解。

师生活动设计 1.设有一高度为h(t)(t为时间)的雪堆在融化过程中,其侧面满足方程2(x2y2)，设长度单位为厘米, 时间单位为小时, 已知体积减少的速率与侧zh(t)h(t)面积成正比(比例系数 0.9), 问高度为130 cm 的雪堆全部融化需要多少小时?(2001考研)讲课提纲、板书设计作业 P175: 1，2，4（1），7（1）

高等数学教案

重积分

习题课

一、重积分计算的基本方法

—— 累次积分法

1.选择合适的坐标系

使积分域多为坐标面(线)围成;被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.2.选择易计算的积分序

积分域分块要少, 累次积分易算为妙.3.掌握确定积分限的方法

图示法；列不等式法(从内到外: 面、线、点)

二、重积分计算的基本技巧 1.交换积分顺序的方法

2.利用对称性或重心公式简化计算 3.消去被积函数绝对值符号 4.利用重积分换元公式

三、重积分的应用 1.几何方面