高数1.3教案_高数教案同济

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第三次课

教学内容：函数的极限，无穷小，无穷大 教学目的：（1）正确了解函数极限的概念，了解用（xx0)与X（x)语言验证函数极限的步骤。

（2）了解无穷小概念及其与函数极限的关系

（3）了解无穷小与无穷大的关系，函数的左右极限与函数极限的关系 教学重点：函数极限的定义、无穷小的概念 教学难点：函数极限的定义 教学关键：函数极限的定义 教学过程：

一、由数列极限引入函数极限

根据自变量情况的不同，函数的极限分为两类：

（x)（1）自变量趋于无穷大的函数的极限（2）自变量趋于有限值的函数极限（xx0)

二、定义

1、自变量趋于有限值的函数极限（xx0)

定义：设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义。如果存在常数A，对于任意给定的正数（无论多么小），总存在正数，使得当x满足不等式0|xx0|时，对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)A|，那么常数A就叫做函数f(x)当（xx0)时的极限，记做xx0limf(x)A或f(x)A（当xx0)

说明：

1、对于给定的0，不唯一

2、f(x)在x0有无极限与有无定义无关

（2x3)5 例

1、limx1证明：0,要使|2x35|,|2x35|2|x1|，只要2|x1|,即|x1|例

2、证明极限limx4

x222，0,取2当0|x1|时有|2x35|，得证。

证明：0,要使|x4| 2考虑x2时x2的变化趋势，故不妨设1

只要5|x2|,即|x2〈|

50,取min{1,},当0|x2|时，有|x24|得证

5左极限与右极限

（1）当x从x0的左边趋于x0时，f(x)A，则称A为f(x)当 xx0的左极限，记作xx0limf(x)A或f(x00)A

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2013-4-11 徐屹

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（2）当x从x0的右边趋于x0时，f(x)A，则称A为f(x)当 xx0的右极限，记作xx0limf(x)A或f(x00)A

xx0f(x00)A 结论：limf(x0)Af(x00）（x)

2、自变量趋于无穷大时函数的极限x的三种情况：x

（x0）

x

（x0）

x

（|x|)

定义：设函数f(x)当|x|大于某一正数时有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数（无论它多小），总存在着正数X，使得当 x满足不等式|x|>X时，对应的函数值f(x)都满足不等式

|f(x)A|，那么常数A就叫做函数f(x)当x时的极限，记作

limf(x)A，或f(x)A（当x)

x定义：设函数f(x)当x大于某一正数时有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数（无论它多小），总存在着正数X，使得当 x满足不等式x>X时，对应的函数值f(x)都满足不等式

|f(x)A|，那么常数A就叫做函数f(x)当x时的极限，记作

xlimf(x)A，或f(x)A（当x)

说明：类似可以定义函数的左极限

sinx0

xxsinxsinxsinx10|，|0|||证明：0,要使| xxx|x|11只要,即|x|

|x|1sinx0,取X当|x|X时有，|0| 所以得证

x例：利用极限定义证明lim

三、函数极限的性质

1、（唯一性）如果limf(x)存在，则此极限唯一。

xx02、（局部有界性）如果limf(x)=A，那么存在常数M>0,和0，使得当0|xx0|时有xx0|f(x)|M

证明：因为limf(x)=A，所以取xx01，则0,当0|xx0|时，有|f(x)A|1|f(x)||f(x)A||A||A|1 记M=|A|1，则得证

3、（局部保号性）如果limf(x)=A而且A>0（或A

xx00|xx0|时，有f(x)>0(或f(x)0)徐屹

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说明：由此定理可以得到更强的结论：

如果limf(x)=A（A0），那么就存在着x0的某一去心邻域U(x0)，当xU(x0)时，就有xx0oo|A| 20f(x)0），而且limf(x)A，推论：如果x0的某一去心邻域内f(x)（或那么A0或（A0）|f(x)|xx0函数极限与数列极限的关系：如果limf(x)存在，{xn}为函数f(x)的定义域内任一收敛于x0的数xx0列，且满足：xx0(nN)，那么相应的函数值数列{f(xn)}必收敛，且limf(xn)limf(x)

nxx0证明：设limf(x)=A，则0,0,当0|xx0|时有，|f(x)A|

xx0又因limxnx0,故对0,N,当nN时，有|xnx0|

n由假设，xnx0,。故当nN时，0|xx0|，从而|f(xn)A|，即limf(xn)A

n

四、无穷小与无穷大

1、无穷小：如果函数f(x)当xx0或（x)时的极限为零，那么称函数f(x)为当xx)时的无穷小。0或（x如x0时：x2,sinx,tgx,1cosx为无穷小 如x时，,e1xx2为无穷小

说明：1任何一个非零常数都不是无穷小量

2一个函数是否为无穷小量，与自变量的变化趋势有关

定理

1、在自变量的同一变化过程xx0或（x)中，函数f(x)具有极限A的充分必要条件是f(x)=A+，其中是无穷小。

2、无穷大

设函数f(x)在x0的某一去心邻域有定义（或|x|大于某一正数时有定义）。如果对于任意给定的正数M，总存在正数（或正数X），只要x适合不等式0|xx0|（或|x|X），对应的函数值f(x)总满足不等式|f(x)|M，则称函数f(x)为当xx0(或x)时的无穷大。注意：无穷大与很大数的区别

3、无穷小与无穷大的关系

定理：在同一变化过程中，如果f(x)为无穷大，则

1为无穷小：反之，如果f(x)为无穷小，且f(x)f(x)0，则1为无穷大 f(x)2例：当x0时，x5为无穷小，1为无穷大。2x5说明：此定理只使用于同一变化过程。

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