高三数学教案：第四节函数的连续性及极限的_第四节函数的极限

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第四节

函数的连续性及极限的应用

1.函数在一点连续的定义: 如果函数f(x)在点x=x0处有定义，limf(x)存在，且limf(x)=f(x0)，xx0

xx0那么函数f(x)在点x=x0处连续.2．.函数f(x)在点x=x0处连续必须满足下面三个条件.(1)函数f(x)在点x=x0处有定义；

(2)limf(x)存在；

xx0(3)limf(x)=f(x0)，即函数f(x)在点x0处的极限值等于这一点的函数值.xx0如果上述三个条件中有一个条件不满足，就说函数f(x)在点x0处不连续.那根据这三个条件，我们就可以给出函数在一点连续的定义． 3.函数连续性的运算: ①若f(x)，g(x)都在点x0处连续，则f(x)±g(x)，f(x)•g(x)，f(x)(g(x)≠0)也在点

g(x)x0处连续。

②若u(x)都在点x0处连续，且f(u)在u0=u(x0)处连续,则复合函数f[u(x)]在点x0处连续。

4.函数f(x)在(a，b)内连续的定义：

如果函数f(x)在某一开区间(a，b)内每一点处连续，就说函数f(x)在开区间(a，b)内连续，或f(x)是开区间(a，b)内的连续函数.f(x)在开区间(a，b)内的每一点以及在a、b两点都连续，现在函数f(x)的定义域是［a，b］，若在a点连续，则f(x)在a点的极限存在并且等于f(a)，即在a点的左、右极限都存在，且都等于f(a)，f(x)在(a，b)内的每一点处连续，在a点处右极限存在等于f(a)，在b点处左极限存在等于f(b).5.函数f(x)在［a，b］上连续的定义：

如果f(x)在开区间(a，b)内连续，在左端点x=a处有

xalimf(x)=f(a)，在右端点x=b处有xblimf(x)=f(b),就说函数f(x)在闭区间［a，b］上连续,或f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数.6.最大值最小值定理

如果f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数，那么f(x)在闭区间［a，b］上有最大值和最小值 7.特别注意：函数f(x)在x=x0处连续与函数f(x)在x=x0处有极限的联系与区别。“连续必有极限，有极限未必连续。”

二、问题讨论 ●点击双基

1.f（x）在x=x0处连续是f（x）在x=x0处有定义的_________条件.A.充分不必要

B.必要不充分

C.充要

D.既不充分又不必要 解析：f（x）在x=x0处有定义不一定连续.答案：A πx的不连续点为 2.f（x）=πcosxcosA.x=0 B.x=2（k=0,±1,±2,„）2k1C.x=0和x=2kπ（k=0,±1,±2,„）

2（k=0,±1,±2,„）2k12πππ解析：由cos=0,得=kπ+（k∈Z）,∴x=(kZ).2k1xx2D.x=0和x=又x=0也不是连续点,故选D 答案：D 3.下列图象表示的函数在x=x0处连续的是

yyOx0xOx0x①yy②Ox0xOx0x

A.①

B.②③

C.①④

D.③④ 答案：A

④③4.四个函数:①f（x）=

1;②g（x）=sinx;③f（x）=|x|;④f（x）=ax3+bx2+cx+d.其中在x=0x处连续的函数是____________.（把你认为正确的代号都填上）

答案：②③④

例1：讨论下列函数在给定点或区间上的连续性

1ex1(x0)，点x=0；(1)f(x)1ex11(x0)x22(2)f(x)x4(x1)，点x=－1。

(x1)解：（1）当x→0时，－1e1lim，lime0，因此=－1，1x0x0xex11x1x而limx0e1e11x1x=lim(1x02e11xf(x)limf(x)，)=1，∵limx0x0∴f(x)在x=0处极限不存在，因此f(x)在x=0处不连续。

2（2）∵limf(x)lim(x2)3，limf(x)lim(x4)3，f(1)3，x1x1x1x1∴limf(x)3f(1)，因此函数f(x)在x=－1处连续。

x1【思维点拨】函数在某点连续当且仅当函数在该点左、右连续（闭区间的端点例外）。

例2.(优化P208例1)1(x>0)(1)讨论函数f(x)=0(x=0),在点x0处的连续性-1(x

x24练习：讨论函数f(x)的连续性；适当定义某点的函数值，使f(x)在区间(－3,3)

x2内连续。

解：显然函数的定义域为(,2)(2,)，当x2时，f(x)x2，∴f(x)在(,2)上连续，在(2,)上连续。而f(x)在x2处不连续。

x24又∵limlim(x2)4，不妨设f(2)4，x2x2x2x24(x2)此时，f(x)在区间(－3,3)内连续。于是f(x)x2(x2)4例3.(优化P208例2)ex(x0)设函数f(x)= ax(x0)

当a为何值时,函数f(x)是连续的x解:limf（x）=（a+x）=a, f（x）=e=1,而f（0）=a,故当a=1时,limlimlimx0x0x0x0x0limf（x）=f（0）, 即说明函数f（x）在x=0处连续,而在x≠0时,f（x）显然连续,于是我们可判断当a=1时, f（x）在（－∞,+∞）内是连续的.评述：分段函数讨论连续性,一定要讨论在“分界点”的左、右极限,进而断定连续性.例4.如图,在大沙漠上进行勘测工作时,先选定一点作为坐标原点,然后采用如下方法:从原点出发,在x轴上向正方向前进a(a>0)个单位后,向左转900,前进ar(0

(1)若有一小分队出发后与设在原点处的大本营失去联系,且可以断定此小分队的行动与原

y定方案相同,则大本营在何处寻找小分队?(2)若其中的r 为变量,且0

备用：

Ox例题：利用连续函数的图象特征，判断方程：2x5x10是否存在实数根。

3解：设f(x)2x5x1，则f(x)在R上连续，又f(0)1,f(3)380，因此在3[－3，0]内必存在点x0使得f(x0)0，所以x0是方程2x5x10的一个实数根，因此方程2x5x10有实根。

【思维点拨】要判断方程是否有实根，即判断对应的连续函数yf(x)的图象是否与x轴有交点。

五、小结

1．函数f(x)在x=x0处连续必须具备三个条件：Ⅰ）函数f(x)在x=x0处及其附近有定义；Ⅱ）函数f(x)在x=x0处有极限；Ⅲ）函数f(x)在x=x0处的极限值等于这一点处的函数值f(x0)。2．如果函数f(x)在闭区间[a,b]上是连续函数，那么函数f(x)在闭区间[a,b]上有最大值和最小值。

六、课后作业：