函数及其表示方法教案_函数的表示方法教案

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函数及其表示方法

一、目标认知

学习目标：

(1)会用集合与对应的语言刻画函数；会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用.(2)能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实际情

境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；

(3)求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用．

重点: 函数概念的理解，函数关系的三种表示方法．分段函数解析式的求法．难点: 对函数符号的理解；对于具体问题能灵活运用这三种表示方法中的某种进行分析，什么才算“恰当”？分段函数解析式的求法．

二、知识要点梳理

1.函数的三种表示法：

解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值.图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．优点：直观形象，反应变化趋势.列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．优点：不需计算就可看出函数值.2.分段函数：

分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．

知识点

二、映射与函数 1.映射定义：

设A、B是两个非空集合，如果按照某个对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A到B的映射；记为f：A→B.象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象.注意：

(1)A中的每一个元素都有象，且唯一；

(2)B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；

(3)a的象记为f(a).2.函数：

设A、B是两个非空数集，若f：A→B是从集合A到集合B的映射，这个映射叫做从集合A到集合B的函数，记为y=f(x).注意：

(1)函数一定是映射，映射不一定是函数；

(2)函数三要素：定义域、值域、对应法则；

(3)B中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；

(4)原象集合=定义域，值域=象集合.7.求函数的解析式

(1)若f(2x-1)=x2，求f(x)；

(2)若f(x+1)=2x2+1，求f(x).思路点拨：求函数的表达式可由两种途径.解：(1)∵f(2x-1)=x2，∴令t=2x-1，则t1

ft,f22

2x1x;

2

(2)f(x+1)=2x2+1，由对应法则特征可得：f(x)=2(x-1)2+1

即：f(x)=2x-4x+3.2

【变式1】(1)已知f(x+1)=x+4x+2，求f(x)；

(2)已知：

2，求f[f(-1)].解：(1)(法1)f(x+1)=x+4x+2=(x+1)+2(x+1)-1

∴f(x)=x2+2x-1；

(法2)令x+1=t，∴x=t-1，∴f(t)=(t-1)2+4(t-1)+2=t2+2t-1

∴f(x)=x2+2x-1；

(法3)设f(x)=ax+bx+c则

f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c

∴a(x+1)2+b(x+1)+c=x2+4x+2

(2)∵-1＜0，∴f(-1)=2·(-1)+6=4

总结升华：求函数解析式常用方法：

f[f(-1)]=f(4)=16.；

(1)换元法；(2)配凑法；(3)定义法；(4)待定系数法等.注意：用换元法解求对应法则问题时，要关注新变元的范围.8.作出下列函数的图象. yx2

y2x4x30x2 3

思路点拨：1.首先取不同的点，在图像上描出，用一条平滑的线连接各点。

（1）yx22x2x22xx2为分段函数，图象是两条射线；

（2）y2x4x30x3图象是抛物线.所作函数图象分别如图所示：

分段函数：

9.已知，求f(0)，f[f(-1)]的值.思路点拨：分段函数求值，必须注意自变量在不同范围内取值时的不同对应关系.解：f(0)=2×02+1=1

f[f(-1)]=f[2×(-1)+3]=f(1)=2×12+1=3.1x0

【变式1】已知fxx0，作出f(x)的图象，求f(1)，f(-1)，f(0)的值.x1x0

解：由分段函数特点，作出f(x)图象如下：

∴如图，可得：f(1)=2；f(-1)=-1；f(0)=； 10.某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定：

(1)乘坐汽车5公里以内，票价2元；

(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按5公里计算)，已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，如果沿途(包括起点站和终点站)设20个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象.解：设票价为y元，里程为x公里，20x535x10xN 由空调汽车票价制定的规定，可得到以下函数解析式：y410x15515x19

根据这个函数解析式，可画出函数图象，如下图所示：

【变式1】移动公司开展了两种通讯业务：“全球通”，月租50元，每通话1分钟，付费0.4元；“神州行”不缴月租，每通话1分钟，付费0.6元，若一个月内通话x分钟，两种通讯方式的费用分别为y1，y2(元)，Ⅰ.写出y1，y2与x之间的函数关系式？

Ⅱ.一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？

Ⅲ.若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯方式？

解：Ⅰ：y1=50+0.4x，y2=0.6x；

Ⅱ：当y1=y2时，50+0.4x=0.6x，∴0.2x=50，x=250

∴当一个月内通话250分钟时，两种通讯方式费用相同；

Ⅲ：若某人预计月付资费200元，采用第一种方式：200=50+0.4x，0.4x=150 ∴x=375（分钟）

采用第二种方式：200=0.6x，x333

∴应采用第一种(全球通)方式.已知映射f:A→B，在f的作用下，下列说法中不正确的是()

A． A中每个元素必有象，但B中元素不一定有原象

B． B中元素可以有两个原 C． A中的任何元素有且只能有唯一的象