热统新教案第16次课_热统新教案第21次课

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第三节 麦克斯韦速度分布律（内容）

1．麦克斯韦速度分布的推导：用经典分布方法 2．麦克斯韦速率分布 3．三个特征速率

第四节 能量均分定理（内容）1．能量均分定理的表述 2．*能量均分定理的证明

3．能量均分定理的应用：单原子理想气体、双原子分子理想气体、理想固体、平衡辐射的内能和热容量

7.3麦克斯韦速度分布律

本节要求：掌握：N个粒子理想气体的速度分布函数。掌握：速度分布函数应用。1 N个粒子理想气体的速度分布函数（掌握：推导速度分布函数。）2速度分布函数应用（掌握：三个速率的得出。）3实验验证：热电子发射实验、分子射线实验（了解）

根据玻耳兹曼分布研究气体分子质心的平动，导出气体分子的速度分布律。在这问题上，由量子统计理论和由经典统计理论得到的结果相同。以下采用经典统计理论讨论。

设气体含有N个分子，体积为V。分子质心平动动能

1222(pxpypz)2m在体积V内，在dpxdpydpz的动量范围内，分子质心平动的状态数为

V3dpxdpydpz 3h0h0在体积V内，在dpxdpydpz的动量范围内分子数为

allle 3h0对经典粒子，物理量是连续的，可以去掉下标，于是

a参数由总分子数N决定，Vdpxdpydpz

（1）e3e3h0h02mV3h0e22(pxp2ypz)dpxdpydpzN

V2mpx23e(edp)N x3h0利用I(0)0ex22px12m323dx，(e2mdpx)()，2得eh02N()32，V2mkT代回（1），得质心动量在dpxdpydpz范围内的分子数为

22(pxp2ypz)1322kmTaN()edpxdpydpz

2mkT1如果用速度作变量，作代换pxmvx，pymvy，pzmvz，可得在dvxdvydvz范围内的分子数为

2yvz)m322kT(vx2v2aN()edvxdvydvz

2kTm或

2yvz)aNm322kT(vx2v2()edvxdvydvz VV2kTm则在单位体积内，速度在dvxdvydvz范围内的分子数，称为麦氏速度分布律

2yvz)m322kT(vx2v2f(vx,vy,vz)dvxdvydvzn()edvxdvydvz

（2）

2kTm函数f(vx,vy,vz)称为麦氏速度分布函数，满足条件

f(v,vx2y,vz)dvxdvydvzn

在速度空间的球坐标中，麦氏速度分布律

m322kTv22f(v,,)vsindvddn()evsindvdd

2kT两边完成速度空间所有方向的积分，2m2mf(v)dv00m322kTv222f(v,,)vsindvddn()evdv2kT00sindd

则在单位体积内，速率在dv范围内的分子数，称为麦氏速率分布律

m322kTv22f(v)dv4n()evdv

（3）

2kT函数f(v)称为速率分布函数，满足条件

mf(v)dvn

0麦氏速度概率分布：w(vx,vy,vz)dvxdvydvzf(vx,vy,vz)dvxdvydvz/n，麦氏速度概率密度分布：w(vx,vy,vz)f(vx,vy,vz)/n，麦氏速率概率分布：w(v)dvf(v)dv/n 麦氏速率概率密度分布：w(v)f(v)/n；

最可几速率：使速率分布函数f(v)取极大值的速率。

对f(v)关于V求导，令

mdf(v)0 dvd22kTv2(ve)0 dvm22kTv2v(2v)e0

kTmv0不符合要求，取2m2v0，得最可几速率 kTvm2kT m物理量的统计平均值

对离散性的随几变量X，在一次实验测量中记录如下，X

N

x1 n1

x2 n2

x3 n3

x4 n4

x5 n5

x6 n6

其中总测量次数Nn1n2n3n4n5n6

X的算术平均值

n1x1n6x6n1nx16x6P1(x1)x1P6(x6)x6

NNNPl(xl)xl

l当测量次数趋于无穷大时，X的算术平均值趋于一定的极限，称作X的统计平均值

XlimPl(xl)xl

ll对连续性的随几变量X，统计平均值为

XxdP(x)xw(x)dx 其中dP(x)w(x)dx为dx范围内x出现的概率，w(x)为概率密度分布，积分遍及x的取值范围。平均速率

v2m322kT)ev3dv vvw(v)dv4(2kT0m利用积分I(3)0ex2x3dx122，则

vvw(v)dv方均根速率

8kT mmv2m322kTvvw(v)dv4()ev4dv

2kT022利用积分I(4)0exx4dx23，则 852v2v2w(v)dv方均根速率vs是vsv，于是vs223kT m3kN0TN0m3kT，或vsm3RT。m最可几速率、平均速率和方均根率都与T成正比，与m成反比，它们的相对大小为

vs:v:vm32::11.225:1.128:1 2

碰壁数：在单位时间内碰到单位面积上的分子数。

以ddAdt表示在dt时间内，碰到dA面积上，速度在dvxdvydvz范围内的分子数。这些分子应当位于以dA为底，以v(vx,vy,vz)为轴线，以vxdt为高的柱体内。柱体的体积是

vxdAdt，所以

xvdAvxdt

ddAdtfdvxdvydvzdAdt

即

dfdvxdvydvz

对速度积分，即可得在单位时间内碰到单位面积上的分子数

dvydvzfdv0x

2将麦氏速度分布函数f(vx,vy,vz)代入，利用I(1)mm0exxdx12，完成积分

2v2vxym322)[e2kTdvy]vxe2kTdvx n(2kT0n(kT18kT1m322kT122kTnn)[()]nv

2m4m42kTmm7．4能量均分定理

本节要求：掌握：能量均分定理。掌握：计算系统内能和热容量 1能量均分定理（掌握：能量均分定理的内容）

2计算系统内能和热容量（掌握：单原子分子、双原子分子、固体三种情况 掌握：平衡辐射：瑞利-金斯公式）

7．4．1能量均分定理及其证明

1对于处在温度为T的平衡状态的经典系统，粒子能量中每一平方项的平均值为kT。

2证明：

将系统看作经典系统，粒子总能量

pq

1r1r2(qr1,,qr)aipibiqi2q2i12i1其中ai,bi均为正值，ai与

p1,p2,pr,q1,q2,qr无关；

bi与q1,q2,qr,p1,p2,pr无关；且rr。

系统麦氏概率分布 在ldp1dprdq1dqr的体积范围内，粒子质心平动的状态数为

l1dp1dprdq1dqr rrh0h0对经典粒子，物理量是连续的，可以去掉下标，于是在积范围的内粒子数为

dp1dprdq1dqr的体ae rh01redp1dprdq1dqr h0Nedp1dprdq1dqr rz1h0处在dp1dprdq1dqr内的分子数占总分子数的概率

dP(q,p)w(p,q)dp1dprdq1dqr归一化条件

a N1edp1dprdq1dqr rz1h0dP(q,p)w(p,q)dp1dprdq1dqr

1z1h0r能量表达式中任一平方项edp1dprdq1dqr1

1aipi2的平均值 2112aipi2aipidP(q,p)

221z1h0raipi2122aipiedp1dprdq1dqr 21z1h0rdp1dpi1dpi1dprdq1dqreaipi212aipie2dpi

（1）2其中

aipi2

12aipi2112aipie2dpi22pieaipi22d(2aipi2)

12pideaipi22

aipi21pie2212eaipi22dipi

12eaipi22dipi

（2）

将（2）代回（1），注意归一化条件，1aipi2 21z1h0rdp1dpi1dpi1dprdq1dqre12eaipi22dpi

12z1h0r12z1h0reaipi22dp1dprdq1dqr

edp1dprdq1dqr

11kT 22112同理可证，biqikT。

227．4．2能量均分定理的应用 单原子分子

1222(pxpypz)2m13分子平均能量kT3kT

223系统总内能UNNkT

2dU3定容热容量CVNk

dT25定压热容量CpCVNkNk

2质心平动动能定压热容量与定容热容量之比CpCV51.667 3理论结果与实验结果符合得很好，但没有考虑原子内电子的运动。原子内的电子对热容量没有贡献是经典理论所不能解释的，要用量子理论才能解释。双原子分子

双原子分子的能量1111222222(pxpypz)(pp)pru(r)22m2I2sinm1m2是约化质量。

m1m22其中mm1m2为两个原子之和，Ir是转动惯量，15kT5kT 225系统总内能UNNkT

2dU5定容热容量CVNk

dT27定压热容量CpCVNkNk

2分子平均能量定压热容量与定容热容量之比CpCV71.4 5除了低温下的氢气外，理论结果与实验结果都符合。低温下的氢气的性质不能用经典理论解释，同时也不能解释为什么可以不考虑两个原子之间的相对运动。固体

固体中的原子在其平衡位置附近作微振动，假设各原子的振动是相互独立的简谐振动。

121pm2q2 2m21一个原子的平均能量kT63kT

2固体的内能UN3NkT 一个自由度上的能量定容热容量CVdU3Nk dTTV2定压热容量CpCVT3NkTV2T

在室温和高温范围内理论结果与实验结果符合。在低温范围，实验发现固体的热容量随温度降低得很快，当温度趋于绝对零度时，热容量也趋于零。这个事实经典理论不能解释。实验结果还表明，3k以上的自由电子的热容量与离子振动的热容量相比可以忽略，这个事实经典理论也不能解释。平衡辐射

考虑一个封闭的空窖，窖壁原子不断地向空窖发射并从空窖吸收电磁波，经过一定的时间以后，空窖内的电磁辐射与窖壁达到平衡，称为平衡辐射，二者具有相同的温度。

空窖内的辐射场可以分解为无穷多个单色平面波的叠加，如果采用周期性边界条件，单色平面波的电场分量可表示为

0e22222，由拉普拉斯算符2xyz2i(krt)，(kkk)0e2i(krt)2 0et222x2y2zi(krt)

120，代入电磁场的波动方程2Ct2(kkk)0e2x2y2zi(krt)2C20ei(krt)0

(k22C2)0

k22C20

CkCkECp

此即辐射场的能量动量关系。

具有一定波矢k和一定偏振的单色平面波可以看作辐射场的一个自由度。它以圆频率随时间作简谐振动，因此相应于一个自由度。周期性边界条件给出可能的波矢，2kxLnx,nx0,1,2,,ky2ny,ny0,1,2,, L2kznz,nz0,1,2,，L如果窖壁的线度L为一个宏观量，则每一个自由度的波矢、动量和能量是准连续的，这

3时往往考虑在体积VL内，在kx到kxdkx，ky到kydky，kz到kzdkz的波矢范围内辐射场的自由度（量子态）数。在kx到kxdkx的范围内可能的数目为

dnxky到kydky的范围内可能的数目为

Ldkx 2dnykz到kzdkz的范围内可能的数目为

Ldky 2dnzLdkz 23在体积VL内，在kx到kxdkx，ky到kydky，kz到kzdkz的波矢范围内辐射场的自由度（量子态）数为

2dnxdnydnz2(L3V)dkxdkydkzdkxdkydkz 324V2ksindkdd 43上式在波矢的球坐标空间中表示为，2dn(k,,)3考虑Ck，在体积VL内，在~d范围内辐射场的自由度（量子态）数为

D()dV2d 23C根据能量均分定理，温度为T时，每一个振动自由度的平均能量为kT。所以，在体积V内，在~d范围内辐射场的内能为

UdVkT2d 23C或令VU/V，利用2，化为

d82kTd 3C上式称为瑞利—金斯公式。它在低频范围与实验结果符合，但在高频范围二者有尖锐的歧异。

瑞利金斯公式的曲线实验曲线平衡辐射的总能量



U0VUd23C0kT2d

平衡辐射的定容热容量CVdU dT4这一结果与热力学得到的结论UTV不相符，历史上称为紫外光灾难。导致这一荒谬结果的原因是，根据经典电动力学辐射场具有无穷多个自由度，而根据经典统计的能量均分定理，每个自由度分得平均能量为kT，所以辐射场的总内能发散。由此看来，经典统计存在根本性的原则困难。开尔文爵士称之为物理学天空中的第一朵乌云，正是这朵乌云引发了量子力学的革命。