高考一轮复习数学教案：2.4 函数的奇偶性_函数的奇偶性复习教案

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2.4 函数的奇偶性

●知识梳理

1.奇函数：对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）=－f（x）〔或f（x）+ f（－x）=0〕，则称f（x）为奇函数.2.偶函数：对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）=f（x）〔或f（x）－f（－x）=0〕，则称f（x）为偶函数.3.奇、偶函数的性质

（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）.（2）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称.（3）若奇函数的定义域包含数0，则f（0）=0.（4）奇函数的反函数也为奇函数.（5）定义在（－∞，+∞）上的任意函数f（x）都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和.●点击双基

1.下面四个结论中，正确命题的个数是

①偶函数的图象一定与y轴相交

②奇函数的图象一定通过原点

③偶函数的图象关于y轴对称

④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f（x）=0（x∈R）

A.1

B.2

C.3

D.4 解析：①不对；②不对，因为奇函数的定义域可能不包含原点；③正确；④不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f（x）=0〔x∈（－a，a）〕.答案：A 2.已知函数f（x）=ax2＋bx＋c（a≠0）是偶函数，那么g（x）=ax3＋bx2＋cx是 A.奇函数

B.偶函数 C.既奇且偶函数

D.非奇非偶函数

3解析：由f（x）为偶函数，知b=0，有g（x）=ax＋cx（a≠0）为奇函数.答案：A 3.若偶函数f（x）在区间［－1，0］上是减函数，α、β是锐角三角形的两个内角，且α≠β，则下列不等式中正确的是

A.f（cosα）＞f（cosβ）

C.f（sinα）＞f（sinβ）

B.f（sinα）＞f（cosβ）D.f（cosα）＞f（sinβ）

解析：∵偶函数f（x）在区间［－1，0］上是减函数，∴f（x）在区间［0，1］上为增函数.由α、β是锐角三角形的两个内角，∴α+β＞90°，α＞90°－β.1＞sinα＞cosβ＞0.∴f（sinα）＞f（cosβ）.答案：B 4.已知（fx）＝ax＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为［a－1，2a］，则a＝___________，b＝___________.解析：定义域应关于原点对称，故有a－1＝－2a，得a＝

32.又对于所给解析式，要使f（－x）＝f（x）恒成立，应b＝0.答案：13

0 1x5.给定函数:①y=（x≠0）；②y=x2+1；③y=2x；④y=log2x；⑤y=log2（x+

x21）.在这五个函数中，奇函数是_________，偶函数是_________，非奇非偶函数是__________.答案：①⑤

②

③④ ●典例剖析

【例1】 已知函数y=f（x）是偶函数，y=f（x－2）在［0，2］上是单调减函数，则 A.f（0）＜f（－1）＜f（2）C.f（－1）＜f（2）＜f（0）

B.f（－1）＜f（0）＜f（2）D.f（2）＜f（－1）＜f（0）

剖析：由f（x－2）在［0，2］上单调递减，∴f（x）在［－2，0］上单调递减.∵y=f（x）是偶函数，∴f（x）在［0，2］上单调递增.又f（－1）=f（1），故应选A.答案：A 【例2】 判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）=|x+1|－|x－1|；（2）f（x）=（x－1）²

1x1x；

（3）f（x）=1x2|x2|2x(1x)x(1x)；

（4）f（x）=(x0),(x0).剖析：根据函数奇偶性的定义进行判断.解：（1）函数的定义域x∈（－∞，+∞），对称于原点.∵f（－x）=|－x+1|－|－x－1|=|x－1|－|x+1|=－（|x+1|－|x－1|）=－f（x），∴f（x）=|x+1|－|x－1|是奇函数.（2）先确定函数的定义域.由

1x1x≥0，得－1≤x＜1，其定义域不对称于原点，所以f（x）既不是奇函数也不是偶函数.（3）去掉绝对值符号，根据定义判断.1x20,1x1,由得

x0且x4.|x2|20,故f（x）的定义域为［－1，0）∪（0，1］，关于原点对称，且有x+2＞0.从而有f（x）= 1x2x22=1xx2，这时有f（－x）=

1(x)x2=－

1xx2=－f（x），故f（x）为奇函

数.（4）∵函数f（x）的定义域是（－∞，0）∪（0，+∞），并且当x＞0时，－x＜0，∴f（－x）=（－x）［1－（－x）］=－x（1+x）=－f（x）（x＞0）.当x＜0时，－x＞0，∴f（－x）=－x（1－x）=－f（x）（x＜0）.故函数f（x）为奇函数.评述：（1）分段函数的奇偶性应分段证明.（2）判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式.【例3】（2005年北京东城区模拟题）函数f（x）的定义域为D={x|x≠0}，且满足对于任意x1、x2∈D，有f（x1²x2）=f（x1）+f（x2）.（1）求f（1）的值；

（2）判断f（x）的奇偶性并证明；

（3）如果f（4）=1，f（3x+1）+f（2x－6）≤3，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，求x的取值范围.（1）解：令x1=x2=1，有f（1³1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0.（2）证明：令x1=x2=－1，有f［（－1）³（－1）］=f（－1）+f（－1）.解得f（－1）=0.令x1=－1，x2=x，有f（－x）=f（－1）+f（x），∴f（－x）=f（x）.∴f（x）为偶函数.（3）解：f（4³4）=f（4）+f（4）=2，f（16³4）=f（16）+f（4）=3.∴f（3x+1）+f（2x－6）≤3即f［（3x+1）（2x－6）］≤f（64）.（*）∵f（x）在（0，+∞）上是增函数，∴（*）等价于不等式组

(3x1)(2x6)0, (3x1)(2x6)64(3x1)(2x6)0,(3x1)(2x6)64,或

1x3或x,1x3,3或或3

xR.7x53∴3＜x≤5或－73≤x＜－

7313或－

1313＜x＜3.或－

13∴x的取值范围为{x|－≤x＜－＜x＜3或3＜x≤5}.评述：解答本题易出现如下思维障碍：

（1）无从下手，不知如何脱掉“f”.解决办法:利用函数的单调性.（2）无法得到另一个不等式.解决办法：关于原点对称的两个区间上，奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反.深化拓展

已知f（x）、g（x）都是奇函数，f（x）＞0的解集是（a，b），g（x）＞0的解集是（b2

2a22，），b2＞a，那么f（x）²g（x）＞0的解集是 2

A.（a222，b2b2）

b2

2B.（－b，－a2）D.（a2C.（a，）∪（－，－a）

2，b）∪（－b2，－a2）

提示：f（x）²g（x）＞02

f(x)0,g(x)02

或f(x)0,g(x)0.∴x∈（a，答案：C b2）∪（－

b2，－a）.【例4】（2004年天津模拟题）已知函数f（x）=x+

px+m（p≠0）是奇函数.（1）求m的值.（2）（理）当x∈［1，2］时，求f（x）的最大值和最小值.（文）若p＞1，当x∈［1，2］时，求f（x）的最大值和最小值.解：（1）∵f（x）是奇函数，∴f（－x）=－f（x）.∴－x－pxpx+m=－x－－m.∴2m=0.∴m=0.（2）（理）（ⅰ）当p＜0时，据定义可证明f（x）在［1，2］上为增函数.∴f（x）max= f（2）=2+p2，f（x）min=f（1）=1+p.p］上是减函数，在［

p，+∞）（ⅱ）当p＞0时，据定义可证明f（x）在（0，上是增函数.①当p＜1，即0＜p＜1时，f（x）在［1，2］上为增函数，∴f（x）max=f（2）=2+②当

p2，f（x）min=f（1）=1+p.p∈［1，2］时，f（x）在［1，p］上是减函数.在［p，2］上是增函数.p.f（x）min=f（p）=2f（x）max=max{f（1），f（2）}=max{1+p，2+当1≤p≤2时，1+p≤2+③当

p2p2}.p2，f（x）max=f（2）；当2＜p≤4时，1+p≥2+，f（x）max=f（1）.p＞2，即p＞4时，f（x）在［1，2］上为减函数，∴f（x）max=f（1）=1+p，f（x）min=f（2）=2+（文）解答略.p2.评述：f（x）=x+px（p＞0）的单调性是一重要问题，利用单调性求最值是重要方法.深化拓展

f（x）=x+px的单调性也可根据导函数的符号来判断，本题如何用导数来解？

●闯关训练 夯实基础

1.定义在区间（－∞，+∞）上的奇函数f（x）为增函数，偶函数g（x）在区间［0，+∞）上的图象与f（x）的图象重合，设a＜b＜0，给出下列不等式，其中成立的是

①f（b）－f（－a）＞g（a）－g（－b）②f（b）－f（－a）＜g（a）－g（－b）③f（a）－f（－b）＞g（b）－g（－a）④f（a）－f（－b）＜g（b）－g（－a）A.①④

B.②③

C.①③

D.②④

解析：不妨取符合题意的函数f（x）=x及g（x）=|x|进行比较，或一般地g（x）=f(x)f(x)x0,x0, f（0）=0，f（a）＜f（b）＜0.答案：D 2.（2003年北京海淀区二模题）函数f（x）是定义域为R的偶函数，又是以2为周期的周期函数.若f（x）在［－1，0］上是减函数，那么f（x）在［2，3］上是

A.增函数

C.先增后减的函数

B.减函数

D.先减后增的函数

解析：∵偶函数f（x）在［－1，0］上是减函数，∴f（x）在［0，1］上是增函数.由周期为2知该函数在［2，3］上为增函数.答案：A 3.已知f（x）是奇函数，当x∈（0，1）时，f（x）=lgf（x）的表达式是__________.解析：当x∈（－1，0）时，－x∈（0，1），∴f（x）=－f（－x）=－lg答案：lg（1－x）

x224.（2003年北京）函数f（x）=lg（1+x），g（x）=0x2x1,|x|1,h（x）=tan2x中，x1.11x，那么当x∈（－1，0）时，11x=lg（1－x）.______________是偶函数.解析：∵f（－x）=lg［1+（－x）］=lg（1+x）=f（x），∴f（x）为偶函数.又∵1°当－1≤x≤1时，－1≤－x≤1，∴g（－x）=0.又g（x）=0，∴g（－x）=g（x）.2°当x＜－1时，－x＞1，∴g（－x）=－（－x）+2=x+2.又∵g（x）=x+2，∴g（－x）=g（x）.3°当x＞1时，－x＜－1，2

∴g（－x）=（－x）+2=－x+2.又∵g（x）=－x+2，∴g（－x）=g（x）.综上，对任意x∈R都有g（－x）=g（x）.∴g（x）为偶函数.h（－x）=tan（－2x）=－tan2x=－h（x），∴h（x）为奇函数.答案：f（x）、g（x）5.若f（x）=a2a22122xxx为奇函数，求实数a的值.解：∵x∈R，∴要使f（x）为奇函数，必须且只需f（x）+f（－x）=0，即a－a－22x1+ 1=0，得a=1.6.（理）定义在［－2，2］上的偶函数g（x），当x≥0时，g（x）单调递减，若g（1－m）＜g（m），求m的取值范围.解：由g（1－m）＜g（m）及g（x）为偶函数，可得g（|1－m|）＜g（|m|）.又g（x）在（0，+∞）上单调递减，∴|1－m|＞|m|，且|1－m|≤2，|m|≤2，解得－1≤m＜说明：也可以作出g（x）的示意图，结合图形进行分析.（文）（2005年北京西城区模拟题）定义在R上的奇函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，又f（－3）=0，则不等式xf（x）＜0的解集为

A.（－3，0）∪（0，3）

B.（－∞，－3）∪（3，+∞）C.（－3，0）∪（3，+∞）

D.（－∞，－3）∪（0，3）解析：由奇偶性和单调性的关系结合图象来解.答案：A 培养能力 7.已知f（x）＝x（12x12.1＋

12）.（1）判断f（x）的奇偶性；（2）证明f（x）＞0.（1）解：f（x）＝x²

2xx11)，其定义域为x≠0的实数.又f（－x）＝－x²

2xx11)2(212xx2(2＝－x²＝x²

2xx11)＝f（x），2(12)2(2∴f（x）为偶函数.（2）证明：由解析式易见，当x＞0时，有f（x）＞0.又f（x）是偶函数，且当x＜0时－x＞0，∴当x＜0时f（x）＝f（－x）＞0，即对于x≠0的任何实数x，均有f（x）＞0.探究创新

8.设f（x）=log1（21axx1）为奇函数，a为常数，（1）求a的值；

（2）证明f（x）在（1，+∞）内单调递增；

（3）若对于［3，4］上的每一个x的值，不等式f（x）＞（m的取值范围.（1）解：f（x）是奇函数，∴f（－x）=－f（x）.∴log1ax1212）+m恒成立，求实数

xx1=－log

1ax12x11axx1=

x11ax＞01－a2x2=1－x2a=±1.检验a=1（舍），∴a=－1.（2）证明：任取x1＞x2＞1，∴x1－1＞x2－1＞0.∴0＜2x11＜2x210＜1+

2x11＜1+

2x210＜

x11x11＜

x21x21log

x1112x11＞logx2112x21，即f（x1）＞f（x2）.∴f（x）在（1，+∞）内单调递增.1（3）解：f（x）－（）x＞m恒成立.2令g（x）=f（x）－（）x.只需g（x）min＞m，用定义可以证g（x）在［3，4］上是

21增函数，∴g（x）min=g（3）=－

98.∴m＜－

98时原式恒成立.●思悟小结

1.函数的奇偶性是函数的整体性质，即自变量x在整个定义域内任意取值.2.有时可直接根据图象的对称性来判断函数的奇偶性.●教师下载中心 教学点睛

1.函数的奇偶性经常与函数的其他性质，如单调性、周期性、对称性结合起来考查.因此，在复习过程中应加强知识横向间的联系.2.数形结合，以形助数是解决本节问题常用的思想方法.3.在教学过程中应强调函数的奇偶性是函数的整体性质，而单调性是其局部性质.拓展题例

【例1】 已知函数f（x）=

ax21bxc（a、b、c∈Z）是奇函数，又f（1）=2，f（2）＜3，求a、b、c的值.解：由f（－x）=－f（x），得－bx+c=－（bx+c）.∴c=0.由f（1）=2，得a+1=2b.由f（2）＜3，得4a1a1＜3，解得－1＜a＜2.又a∈Z，∴a=0或a=1.若a=0，则b=

12，与b∈Z矛盾.∴a=1，b=1，c=0.【例2】 已知函数y=f（x）的定义域为R，对任意x、x′∈R均有f（x+x′）=f（x）+f（x′），且对任意x＞0，都有f（x）＜0，f（3）=－3.（1）试证明：函数y=f（x）是R上的单调减函数；

（2）试证明：函数y=f（x）是奇函数；

（3）试求函数y=f（x）在［m，n］（m、n∈Z，且mn＜0）上的值域.分析：（1）可根据函数单调性的定义进行论证，考虑证明过程中如何利用题设条件.（2）可根据函数奇偶性的定义进行证明，应由条件先得到f（0）=0后，再利用条件f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）中x1、x2的任意性，可使结论得证.（3）由（1）的结论可知f（m）、f（n）分别是函数y=f（x）在［m、n］上的最大值与最小值，故求出f（m）与f（n）就可得所求值域.（1）证明：任取x1、x2∈R，且x1＜x2，f（x2）=f［x1+（x2－x1）］，于是由题设条件f（x+x′）=f（x）+f（x′）可知f（x2）=f（x1）+f（x2－x1）.∵x2＞x1，∴x2－x1＞0.∴f（x2－x1）＜0.∴f（x2）=f（x1）+f（x2－x1）＜f（x1）.故函数y=f（x）是单调减函数.（2）证明：∵对任意x、x′∈R均有f（x+x′）=f（x）+f（x′），∴若令x=x′=0，则f（0）=f（0）+f（0）.∴f（0）=0.再令x′=－x，则可得f（0）=f（x）+f（－x）.∵f（0）=0，∴f（－x）=－f（x）.故y=f（x）是奇函数.（3）解：由函数y=f（x）是R上的单调减函数，∴y=f（x）在［m，n］上也为单调减函数.∴y=f（x）在［m，n］上的最大值为f（m），最小值为f（n）.∴f（n）=f［1+（n－1）］=f（1）+f（n－1）=2f（1）+f（n－2）=„=nf（1）.同理，f（m）=mf（1）.∵f（3）=－3，∴f（3）=3f（1）=－3.∴f（1）=－1.∴f（m）=－m，f（n）=－n.因此，函数y=f（x）在［m，n］上的值域为［－n，－m］.评述：（1）满足题设条件f（x+x′）=f（x）+f（x′）的函数，只要其定义域是关于原点对称的，它就为奇函数.（2）若将题设条件中的x＞0，均有f（x）＜0改成均有f（x）＞0，则函数f（x）就是R上的单调增函数.（3）若题设条件中的m、n∈Z去掉，则我们就无法求出f（m）与f（n）的值，故m、n∈Z不可少.