高一数学必修一基本初等函数教案_高一基本初等函数教案

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基本初等函数

一．【要点精讲】 1．指数与对数运算（1）根式的概念：

①定义：若一个数的n次方等于a(n1,且nN)，则这个数称a的n次方根。即若xna，则x称a的n次方根n1且nN)，1）当n为奇数时，a的n次方根记作na；

2）当n为偶数时，负数a没有n次方根，而正数a有两个n次方根且互为相反数，记作na(a0)

②性质：1）(na)na；2）当n为奇数时，naa； 3）当n为偶数时，na|a|（2）．幂的有关概念

①规定：1）anaaa(nN；2）a01(a0)；

*

na(a0)。

a(a0)n个 3）ap1p(pQ，4）annam(a0,m、nN* 且n1)arsrsrsrs；2）(a)a(a0,r、s Q）；(a0,r、sQ）

m②性质：1）aaarrr3）(ab)ab(a0,b0,r Q）。（注）上述性质对r、sR均适用。（3）．对数的概念

b①定义：如果a(a0,且a1)的b次幂等于N，就是aN，那么数b称以a为底N的对数，记作logaNb,其中a称对数的底，N称真数

1）以10为底的对数称常用对数，log10N记作lgN；

2）以无理数e(e2.71828)为底的对数称自然对数，logeN，记作lnN； ②基本性质：

1）真数N为正数（负数和零无对数）；2）loga10； 3）logaa1；4）对数恒等式：alogaNN。

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③运算性质：如果a0,a0,M0,N0,则1）loga(MN)logaMlogaN； 2）logaMlogaMlogaN；3）logaMnnlogaM(nR）N④换底公式：logaNlogmN(a0,a0,m0,m1,N0),logmanlogab。mn1）logablogba1；2）logamb2．指数函数与对数函数（1）指数函数：

①定义：函数yax(a0,且a1)称指数函数，1）函数的定义域为R；2）函数的值域为(0,)；

3）当0a1时函数为减函数，当a1时函数为增函数。②函数图像：自己作图，注意两种情况。1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限；

2）指数函数都以x轴为渐近线（当0a1时，图象向左无限接近x轴，当a1时，图象向右无限接近x轴）；

3）对于相同的a(a0,且a1)，函数yax与yax的图象关于y轴对称 ③函数值的变化特征：看图像可得。自己总结。

（2）对数函数：

①定义：函数ylogax(a0,且a1)称对数函数，1）函数的定义域为(0,)；2）函数的值域为R；

3）当0a1时函数为减函数，当a1时函数为增函数；

4）对数函数ylogax与指数函数ya(a0,且a1)互为反函数 ②函数图像：自己作图，注意两种情况。1）对数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、四象限；

2）对数函数都以y轴为渐近线（当0a1时，图象向上无限接近y轴；当a1时，图象向下无限接近y轴）；

4）对于相同的a(a0,且a1)，函数ylogax与ylog1x的图象关于x轴对称。

ax③函数值的变化特征：看图像可得。自己总结。（3）幂函数

1）掌握5个幂函数的图像特点。指数分别为-1，1，1,2,3.22）a>0时，幂函数在第一象限内恒为增函数，a

3）过定点（1，1）当幂函数为偶函数过（-1,1）,当幂函数为奇函数时过（-1，-1）

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当a>0时过（0，0）。4）幂函数一定不经过第四象限 四．【典例解析】 题型1：指数运算

34例1．（1）计算：[(3)3(5)0.5(0.008)3(0.02)2(0.32)2]0.06250.25；

892211解：；2。91212例2．（1）已知xx21.xx○3，求○

1x2x22xx3232的值 7,3

3题型2：对数及幂运算

（2）幂函数yf(x)的图象经过点(2,1)，则满足f(x)＝27的x的值是.81答案 3例3．计算

（1）(lg2)lg2lg50lg25； 解： 2；

题型3：指数、对数方程 22xb例4．已知定义域为R的函数f(x)x1是奇函数.2a（1）求a,b的值；

（2）若对任意的tR，不等式f(t22t)f(2t2k)0恒成立，求k的取值范围.题型4：指数函数的概念与性质

x12e,x＜2，则f(f(2))的值为（）例5．设f(x)2log3(x1)，x2.题型5：指数函数的图像与应用

|1x|m的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是（）例6．若函数y()。12题型6：对数函数的概念与性质 例7．（1）函数ylog2x2的定义域是（）

yo1例8．当a>1时，函数y=logax和y=(1－a)x的图象只可能是()yo1yxAyo1xBxCo1xD

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【思维总结】

1．nNa,aN,logaNb（其中N0,a0,a1）是同一数量关系的三种不同表示形式，因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化，选择最好的形式进行运算.在运算中，根式常常化为指数式比较方便，而对数式一般应化为同应化为同底；

2．要熟练运用初中学习的多项式各种乘法公式；进行数式运算的难点是运用各种变换技巧，如配方、因式分解、有理化（分子或分母）、拆项、添项、换元等等，这些都是经常使用的变换技巧，必须通过各种题型的训练逐渐积累经验；

3．解决含指数式或对数式的各种问题，要熟练运用指数、对数运算法则及运算性质，更关键是熟练运用指数与对数函数的性质，其中单调性是使用率比较高的知识；

4．指数、对数函数值的变化特点是解决含指数、对数式的问题时使用频繁的关键知识，要达到滚瓜烂熟，运用自如的水平，在使用时常常还要结合指数、对数的特殊值共同分析；

5．含有参数的指数、对数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题的最基本的分类方案是以“底”大于1或小于1分类；

6．在学习中含有指数、对数的复合函数问题大多数都是以综合形式出现，如与其它函数（特别是二次函数）形成的复合函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要努力提高综合能力

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