高三数学教案：圆锥曲线的综合问题（版）_高三数学圆锥曲线教案

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第八节

圆锥曲线的综合应用

一、基本知识概要：

1知识精讲：

圆锥曲线的综合问题包括：解析法的应用，数形结合的思想，与圆锥曲线有关的定值、最值等问题，主要沿着两条主线，即圆锥曲线科内综合与代数间的科间综合，灵活运用解析几何的常用方法，解决圆锥曲线的综合问题；通过问题的解决，进一步掌握函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想.2重点难点：正确熟练地运用解析几何的方法解决圆锥曲线的综合问题，从中进一步体会分类讨论、等价转化等数学思想的运用.3思维方式：数形结合的思想，等价转化，分类讨论，函数与方程思想等.4特别注意：要能准确地进行数与形的语言转换和运算、推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整。

二、例题：

例1.A，B是抛物线y22px(p0)上的两点，且OAOB（O为坐标原点）求证：

（1）A，B两点的横坐标之积，纵坐标之积分别是定植；（2）直线AB经过一个定点

证明：（1）设OAOB,x1x2y1y20A(x1,y1),B(x2,y2),则y12px1,y22px2,22

两式相乘得y1y24p2,x1x24p2

(2)y1y2222p(x1x2),当x1x2,kAB2py1y22py1y2,2py1y2(x2p),所以直线AB的方程yy1(xx1).化简得y2p,0)

过定点（2p,0),当x1x2时，显然也过点（所以直线AB过定点(2p,0)例

2、（2005年春季北京，18）如图，O为坐标原点，直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b(a0,b0)，且交抛物线y2px(p0)于M（x1,y1），N（x2,y2）两点。

（1）写出直线l的截距式方程（2）证明：1y11y21b2

（3）当a2p时，求MON的大小。（图见教材P135页例1）解：（1）直线l的截距式方程为

xayb1。

（1）

（2）、由（1）及y22px消去x可得by22pay2pab0

（2）

点M，N的坐标y1,y2为（2）的两个根。故y1y22pa2pab,y1y22pa.所以1y11y2y1y2y1y21b.2pab（3）、设直线OM、ON的斜率分别为k1,k2,则k1y1x1,k2y2x2.当a2p时，由（2）知，y1y22pa4p2,由y212px1,y222px2,相乘得(y1y2)4px1x2,x1x222(y1y2)4p22(4p)4p2224p,2因此k1k2y1y2x1x24p4p221.所以OMON，即MON＝90。

说明：本题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力。

例

3、（2005年黄冈高三调研考题）已知椭圆C的方程为

xa22yb221(ab0)，双曲线xa22yb221的两条渐近线为l1,l2，过椭圆C的右焦点F作直线l，使ll1，又l与l2交于P点，设l与椭圆C的两个交点由上而下依次为A、B。（图见教材P135页例2）

（1）当l1与l2夹角为60，双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程 （2）当FAAP时，求的最大值。

解：（1）双曲线的渐近线为ybax，两渐近线的夹角为60，又

ba1，POx30,即batan3033ax23b.又ab2224,a2

y1.23,b21.故椭圆C的方程为3（3）由已知l:yab(xc),与ybax解得P（ac,ab）, c 由FAAP得A(ca2c,abc)，将A点坐标代入椭圆方程得

141(ca)a2222222222222(1)ac,(e)e(1)

ee22(2e)3322.22 e22e2－1。42的最大值为说明：本题考查了椭圆、双曲线的基础知识，及向量、定比分点公式、重要不等式的应用。解决本题的难点是通过恒等变形，利用重要不等式解决问题的思想。本题是培养学生分析问题和解决问题能力的一道好题。例

4、A，F分别是椭圆

(y1)162(x1)1221的一个上顶点与上焦点，位于x轴的正半轴上的动点T（t,0）与F的连线交射线OA于Q，求：

（1）点A，F的坐标及直线TQ的方程;（2）三角形OTQ的面积S与t的函数关系式及该函数的最小值（3）写出该函数的单调递增区间,并证明.解:(1)由题意得A(1,3),F(1,1)直线TQ得方程为x+(t-1)y-t=0(2)射线OA的方程y=3x(x0),代入TQ的方程，得xQ由xQ0,得t12(2)t3t1223,则yQ34()t4443t3t2

3t3t29,S(t)2312yQOT3943t4322(3t2)(当t43时取等号）13,t,S(t)

2所以S(t)的最小值为4(3)S(t)在,3

上是增函数 224(t2t1)(t1)(t2)41339设t1t2,那么S(t1)S(t2)

2232(t1)(t2)33t2.t143,(t123)23,t22323,,S(t2)S(t1)

所以该函数在43,上是增函数

三、课堂小结：

1、解决圆锥曲线的综合问题应根据曲线的几何特征，熟练运用圆锥曲线的知识将曲线的几何特征转化为数量关系，再结合代数等知识来解。

2、对于求曲线方程中参数范围问题，应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的不等式，通过解不等式求得参数的范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域来解 四.作业: 教材P136闯关训练。