26.1二次函数教案_261二次函数教案
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26．1 二次函数
[本课知识要点]
通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的过程中体会二次函数的意义．
[创新思维]
（1）正方形边长为a（cm），它的面积s（cm）是多少？
s = a
（2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长与宽都增加x厘米，则面积增加y平方厘米，试写出y与x的关系式．
y =(4+x)(3+x)−4×3 = x+7x
22请观察上面列出的两个式子，它们是不是函数？为什么？如果是函数，请你结合学习一次函数概念的经验，给它下个定义．
二次函数的概念：形如ax+bx+c = 0(a≠0，a、b、c为常数)的函数叫二次函数．
2[实践与探索]
例题：
补充例题：
1． m取哪些值时，函数
是以x为自变量的二次函数？
分析 若函数．
解 若函数
解得
因此，当，且，且时，函数
．
．
是二次函数，须满足的条件是：
是二次函数，则
是二次函数．的函数只有在的条件下才是二次函数．
回顾与反思 形如
探索
若函数值？
是以x为自变量的一次函数，则m取哪些
2．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数．
（1）写出正方体的表面积S（cm）与正方体棱长a（cm）之间的函数关系；
（2）写出圆的面积y（cm）与它的周长x（cm）之间的函数关系；
（3）某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y（元）与所存年数x之间的函数关系；
（4）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（cm）与一对角线长x（cm）之间的函数关系．
解（1）由题意，得，其中S是a的二次函数；
（2）由题意，得
（3）由题意，得
其中y是x的一次函数；，其中y是x的二次函数；
（x≥0且是正整数），（4）由题意，得 数．，其中S是x的二次函
3．正方形铁片边长为15cm，在四个角上各剪去一个边长为x（cm）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子．
(1)求盒子的表面积S（cm）与小正方形边长x（cm）之间的函数关系式；
(2)当小正方形边长为3cm时，求盒子的表面积．
解（1）
（2）当x = 3cm时，；（cm）．
[当堂课内练习]
1．下列函数中，哪些是二次函数？
（1）（2）
（3）（4）
为二次函数？
2．当k为何值时，函数
3．已知正方形的面积为，周长为x（cm）．
(1)请写出y与x的函数关系式；
(2)判断y是否为x的二次函数．
[本课课外作业]
A组
1． 已知函数
2． 已知二次函数
是二次函数，求m的值．，当x=3时，y=-5，当x=-5时，求y的值．
3． 已知一个圆柱的高为27，底面半径为x，求圆柱的体积y与x的函数关系式．若圆柱的底面半径x为3，求此时的y．
4． 用一根长为40 cm的铁丝围成一个半径为r的扇形，求扇形的面积y与它的半径x之间的函数关系式．这个函数是二次函数吗？请写出半径r的取值范围．
B组
5．对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是（）
A． B．
C．
（D．
6．下列函数关系中，可以看作二次函数
A． 在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系）模型的是（）
B． 我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系
C． 竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）
圆的周长与圆的半径之间的关系
典型例题
1．下列各式中，y是x的二次函数的是()A．x+y−1 = 0 B．y =(x+1)(x−1)−xC.y = 1+22
D.2(x−1)+3y−2 = 0 答案：D4
说明：选项A、C都不难看出关系式中不含x的平方项，因此，都不满足二次函数的定义，选项B，y =(x+1)(x−1)−x可化简为y = −1，也不满足二次函数的定义，只有选项D是正确的，答案为D．
2．下列函数中，不是二次函数的是()
2A．y = 1−x B．y = 2(x−1)+4 C．y =
222
2(x−1)(x+4)D．y =(x−2)−x
答案：D
说明：选项D，y =(x−2)−x可化为y = −4x+4，不是二次函数，而选项A、B、C中的函数都是二次函数，答案为D．
3．函数y =(m−3)是二次函数，则m的值为：（答案：−3）
说明：因为y =(m−3)且m≠3，即m = −3．
4．已知函数y =(4a ＋3)
是二次函数，所以m2−7 = 2，且m−3≠0，因此有m = ±3，＋x−1是一个二次函数，求满足条件的a的值．
解：∵y =(4a ＋3)
＋x−1是一个二次函数，∴，解得a = 1．
习题精选
21．在半径为 4 cm的圆中，挖去一个半径为x(cm)的小圆，剩下的圆环面积为y(cm)，则y与x之间的函数关系式为()A．y = πx−4 B．y = π(2−x)
C．y = −(x+4)D．y = −πx+16π
答案：D
说明：半径为4cm的圆，面积为16π(cm)，挖去的小圆面积为πx(cm)，所以剩下的圆环222面积为(16π-πx)(cm)，即有y =-πx+16π，答案为D．
2．若圆锥的体积为Vcm，高为6cm，底面半径为rcm．写出V与r之间的函数关系式，并判断它是否是二次函数?
此题考查圆锥的体积公式及二次函数的概念．
322
解：由题意得：V=n+2
πr×6，即V=2πr，此函数是二次函数．
3．若函数y=2x+1是二次函数，求n的值．
此题考查二次函数概念中关于自变量的二次式．
解：由题意得：n+2=2 ∴n=0
4．若函数y=(a−1)x+x+1是二次函数，求a、b的取值范围． b+5
此题综合考查二次函数的概念，分三种情况讨论：
（1）(a−1)x是二次项
（2）(a−1)x是一次项
（3）(a−1)x是常数项．
解：分三种情况： b+1b+1b+1
（1）∴b = 1，a≠1
（2）∴b = 0，a≠1
（3）a−1 = 0 ∴a = 1
∴a = 1；b = 0且a≠1且b = 1
5．一个长方形的周长为50cm，一边长为x(cm)，求这个长方形的面积y(cm)与一边长x(cm)之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围
答案：y=−x+25x，0
说明：由已知不难得出，该长方形的另一边长为50÷2−x，即25−x，长方形的两边长则分别为x、25−x，而这两边长都应该大于0，即x>0且25−x>0，同时，该长方形的面积为22x(25−x)=−x+25x，即有y=−x+25x，0
6．小明存入银行人民币200元，年利率为x，两年到期，本息和为y元(以单利计算)．
(1)求y与x之间的函数关系式．
(2)若年利率为2.25%，求本息和．
(3)若利息税率为20%，求到期时，小明实际所得利息．
答案：
(1)y=200+400(2)209(3)7.2元
说明：(1)两年到期的利息应该是2×200x，即400x，所以本息和y=200+400x
(2)当x=2.25%时，y=200+400×2.25%=209
(3)实际所得利息为2×200×2.25%×(1−20%)=7.2． 26
