第七章二元一次方程组教案及练习_二元一次方程组章教案

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第七章 二元一次方程组一、二元一次方程组的有关概念

1．二元一次方程的定义：都含有两个未知数，并且含未知数项的次数都是1，像这样的整式方程，叫做二元一次方程。一般形式为：ax+by=c（a、b、c为常数，且a、b均不为0）例如：方程7y-3x=

4、-3a+3=4-7b、2m+3n=0、1-s+t=2s等都是二元一次方程。而6x2=-2y-

6、4x+8y=-6z、2=n等都不是二元一次方程。m2．二元一次方程组的定义：把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。

2x3y57a3b3mn2st2例如：、、、等都是二元xy8a2b1mn13st11一次方程组。

12x3y57a3a3n2而、、m等都不是二元一次方程组。

xz8a2a1mn1注意：（1）只要两个方程一共含有两个未知数，也是二元一次方程组。如：2x5s

2、也是二元一次方程组。y8t113．二元一次方程和二元一次方程组的解

（1）二元一次方程的解：能够使二元一次方程的左右两边都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。

（2）二元一次方程组的解：使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。（即是两个方程的公共解）

注意：写二元一次方程或二元一次方程组的解时要用“联立”符号“”

把方程中两个未知数的值连接起来写。

xa二元方程解的写法的标准形式是：，（其中a、b为常数）

yb二、二元一次方程组的解法

1．解二元一次方程组的基本思想：“消元”，化二元一次方程组为一元一次方程来解。

2．二元一次方程组的基本解法（1）代入消元法（代入法）

定义：通过“代人”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程来解的这种解法叫做代人消元法，简称代入法。步骤：

①选取一个方程，将它写成用一个未知数表示另一个未知数，记作方程③。

②把③代人另一个方程，得一元一次方程。③解这个一元一次方程，得一个未知数的值。

④把这个未知数的值代人③，求出另一个未知数值，从而得到方程组的解。

练习：解下列方程：

1、x3y2xy54x3y172、

3、

x3y83x2y10y75x（2）加减消元法（加减法）

定义：通过将两个方程相加(或相减)，消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程来解，这种解法叫加减消元法，简称加减法。

步骤：

①把两个方程同一个未知数的系数乘以适当的倍数，使得这两个未知数的绝对值相同。

②把未知数的绝对值相同的两个方程相加或相减，得一元一次方程。③解这个一元一次方程，得一个未知数的值。

④把这个未知数的值代人原方程组中系数叫简单的一个方程，求出另一个未知数值，从而得到方程组的解。注意：正确选用两种基本解二元一次方程组

（1）若二元一次方程组中有一个未知数系数的绝对值为1，适宜用“代入法”。

（2）用加减法解二元一次方程组，两方程中若有一个未知数系数的绝对值相等，可直接加减消元；若同一未知数的系数绝对值不等，则应选一个或两个方程变形，使一个未知数的系数的绝对值相等，然后再直接用加减法求解；若方程组比较复杂，应先化简整理。

练习：

1、4x3y55x2y72x4y62、

3、

4x6y143x2y13x2y17三、二元一次方程组的应用

（一）重点：找等量关系列方程组

难点：审题找准等量关系，巧妙设未知量

运用方程组解实际问题的一般过程：

（1）审题：分析题意，找出题中的数量及其关系；（2）设元：选择两个适当的未知数用字母表示；（3）列方程组：根据相等关系列出方程组；

（4）解方程：求出未知数的值；

（5）检验：检验求出的值是否满足所列方程组中的每一个方程，而

且要检验所得的解答是否符合实际问题的要求。

（二）列二元一次方程组解应用题的常见题型：

1、和差倍总分问题：较大量=较小量+多余量，总量=倍数×倍量

2、产品配套问题：加工总量成比例

3、市场经济问题

（1）商品利润＝商品售价－商品成本价（2）商品利润率＝

商品利润×100%

商品成本价（3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量

（4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量

（5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售．

4、行程问题：路程＝速度×时间 时间＝路程÷速度 速度＝路程÷时间

（1）相遇问题：快行距＋慢行距＝原距

（2）追及问题：快行距－慢行距＝原距

（3）航行问题：

顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度 逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度

抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系．

5、工程问题：工作量=工作效率×工作时间

一般分为两种，一种是一般的工程问题；另一种是工作总量是单位一的工程问题

6、增长率问题：原量×（1＋增长率）=增长后的量，原量×（1＋减少率）=减少后的量

7、银行利率问题：

免税利息=本金×利率×时间，税后利息=本金×利率×时间—本金×利率×时间×税率

8、数字问题：首先要正确掌握自然数、奇数偶数等有关的概念、特征及其表示。一般可设个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c． 十位数可表示为10b+a，百位数可表示为100c+10b+a。然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程。

9、几何问题：常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变。必须掌握几何图形的性质、周长、面积等计算公式。

10、年龄问题：抓住人与人的岁数是同时增长的。

11、溶液问题：酒精浓度=（纯酒精量÷酒精溶液质量）×100%

三、【范例讲解】

（和差倍问题）学校的篮球比足球数的2倍少3个，篮球数与足球数的比为3：2，求这两种球队各是多少个？

（配套问题）某厂共有120名生产工人，每个工人每天可生产螺栓25个或螺母20个，如果一个螺栓与两个螺母配成一套，那么每天安排多名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配成最多套？

（行程问题）

1、甲、乙二人相距6km，二人同向而行，甲3小时可追上乙；相向而行，1小时相遇。二人的平均速度各是多少？

（工程问题）

1、现要加工400个机器零件，若甲先做1天，然后两人再共做2天，则还有60个未完成；若两人齐心合作3天，则可超产20个.问甲、乙两人每天各做多少个零件？

（增长率问题）某人用24000元买进甲,乙两种股票,在甲股票升值15%,乙股票下跌10%时卖出,共获利1350元,试问某人买的甲,乙两股票各是多少元 ？

（利润问题）一件商品如果按定价打九折出售可以盈利20%；如果打八折出售可以盈利10元，问此商品的定价是多少？

（数字问题）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5，如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9，求这个两位数？

（年龄问题）今年，小李的年龄是他爷爷的五分之一.小李发现，12年之后，他的年龄变成爷爷的三分之一.试求出今年小李的年龄

（几何分配问题）如图：用8块相同的长方形拼成一个宽为48厘米的大长方形，每块小长方形的长和宽分别是多少？

（分配调运问题）

1、某校师生到甲、乙两个工厂参加劳动，如果从甲厂抽9人到乙厂，则两厂的人数相同；如果从乙厂抽5人到甲厂，则甲厂的人数是乙厂的2倍，到两个工厂的人数各是多少？

2、一批货物要运往某地，货主准备租用汽运公司的甲、乙两种货车，已知过去租用这两种汽车运货的情况如左表所示，现租用该公司5辆甲种货车和6辆乙种货车，一次刚好运完这批货物，问这批货物有多少吨？

（金融分配问题）小华买了10分与20分的邮票共16枚，花了2元5角，问10分与20分的邮票各买了多少？

（做工分配问题）小兰在玩具工厂劳动，做4个小狗、7个小汽车用去3小时42分，做5个小狗、6个小汽车用去3小时37分，平均做1个小狗、1个小汽车各用多少时间？ 四、三元一次方程组及其解法

1．三元一次方程的定义：都含有三个未知数，并且含未知数项的次数都是1，像这样的整式方程，叫做三元一次方程。

2．三元一次方程组的定义：把三个三元一次方程合在一起，就组成xyz6了一个三元一次方程组。例如：3xy2z12

xy3z4

3、三元一次方程组的解法：

对于三元一次方程组，同样可以先消去一个（或两个）未知数，转化为两元一次方程组（或一元一次方程组）求解。

xyz03xy6练习：（1）、2xy3z2（2）、x2yz5

x4y2z505x3y2y4（3）、某初级中学共有学生673人，已知八年级学生人数比其他两个年级人数的平均数多25人，九年级学生人数比七年级学生人数少8人，3个年级各有多少人？

五、小结

1．解一次方程组两种基本方法，是代入法和加减法，解题中常用加减法，在某个未知数的系数为一

1、l时，可用代入法。解一次方程组时，应根据情况灵活运用两种方法。

2.列一次方程组解应用题，关键是寻找相等关系，设几个未知数，就要找出几个相等关系，并把这些相等关系转化为方程组。