生物统计学教案(3)_生物统计学教案

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生物统计学教案

第三章 几种常见的概率分布律

教学时间：3学时 教学方法：课堂板书讲授

教学目的：重点掌握正态分布，掌握二项分布，了解泊松分布，中心极限定律。讲授难点：正态分布、二项分布

3.1 二项分布（重点）3.1.1 二项分布的概率函数

满足二项分布的条件：

1、在一随机试验中，每次试验都有两种不同的结果。

2、两种结果是互不相容的。

3、每一种结果在每次试验中都有恒定的概率。

4、试验间应是独立的。

独立地将此试验重复n次，求在n此试验中，一种结果出现x次的概率是多少？

例：从雌雄各半的100只动物中抽样，抽样共进行10次，问

其中包括3只雄性动物的概率是多少？包括3只及3只以下的概率是多少？即求P（X＝3）和P（X≤3）

该例符合二项分布的条件。规定以下一组符号：

n ＝ 试验次数

x ＝ 在n次试验中事件A出现的次数

φ＝ 事件A发生的概率（每次试验都是恒定的）1－φ＝ 事件A发生的概率

p(x)= x的概率函数＝P（X＝x）（累积分布函数）F(x)= P(X ≤x)上例中：n=10 x=3 φ=0.5 求p(3)和F(3)。在一次抽样中抽到的结果为：mmmfffffff，它的概率为

P（mmmfffffff）=φ3(1-φ)7 抽到3雄7雌的数目相当于从10个元素中抽出3个元素的组合数

3p3C10317对于任意n和x有以下通式：

pxCxnx1nx,x0,1,2,,n

上式称为二项分布的概率函数。该式正是二项展开式的第x+1项,因而产生“二项分布”这一名称。因为φ＋（1－φ）＝1，所以

pxx0n1n1将x＝0，1，2，3，代入二项分布概率函数，可以得出出现0，1，2，3只雄性动物的概率。

P（0）＝ 0.0009766 P（1）＝ 0.0097656 P（2）＝ 0.0439453 P（3）＝ 0.1171876 抽到3只和3只以下雄性动物的概率为：

F（3）＝P（0）＋P（1）＋P（2）＋P（3）

＝0.1718751 3.1.2 服从二项分布的随机变量的特征数

平均数： μ＝nφ 或 μ＝φ 方差： σ2＝nφ（1-φ）或

3.1.3 二项分布应用实例

21n例1 以杂合基因型Wvwv的小鼠为父本，隐性纯合子小鼠wvwv为母本杂交（wv波浪毛，Wv直毛），后代两种基因型的数目应各占一半。实验只选每窝8只的，多于8只和少于8只的都淘汰。结果列在下表中。直毛后代数 观测频数

（x）（f）fx fx2 p(x)Np(x)0 0 0 0 0.003906 0.124992 1 1 1 1 0.031250 1.000000 2 2 4 8 0.109375 3.500000 3 4 12 36 0.218750 7.000000 4 12 48 192 0.273437 8.749984 5 6 30 150 0.218750 7.000000 6 5 30 180 0.109375 3.500000 7 2 14 98 0.031250 1.000000 8 0 0 0 0.003906 0.124992 总数 N＝32 139 665 0.999999 31.99968 样本平均数、总体平均数；样本方差、总体方差如下：

321n84.0000002fx2fx139x4.343750Ns2fxN2N11392665321.974798312n12 例2 遗传学中单因子杂交RR×rr，F1代为Rr，F1自交，F2基因型比符合二项分布。在F2中P（R）＝φ＝1/2，P（r）＝1－φ＝1/2，n＝2。展开二项式：

1222112122111222221RR1Rr1rr424 27 对于两对因子，n＝4 在为人类或动物遗传学研究中，为了保证实验顺利完成，在制定试验计划时，首先要以指定概率求出所需样本含量n。

例3 用棕色正常毛（bbRR）的家兔和黑色短毛（BBrr）兔杂交，F1代为黑色正1111111114464222222221464116161616161/16bbrr。问最少需要多少F2代家兔，才能以99％的概率得到一个棕色短毛兔？

答： φn ＝（15/16）n ＝ 0.01 n（lg15－lg16）＝ lg0.01-0.02803n ＝－2.00000 n ＝71.4 3.2 泊松分布

3.2.1 泊松分布的概率函数

在二项分布中，当某事件出现的概率特别小（φ→0），而样本含量又很大（n432234常毛长的家兔（BbRr）, F1代自交，F2代表型比为：9/16B_R_ : 3/16B_rr : 3/16bbR_ : →∞）时，二项分布就变成泊松分布了。泊松分布是描述在一定空间、长度、面积、体积或一定时间间隔内，点子散布状况的理想化模型。泊松分布的概率函数为：

pxxx!e,x0,1,2,3.2.2 服从泊松分布的随机变量的特征数

泊松分布的平均数： μ＝ μ

可见，泊松分布的平均数就是泊松分布概率函数中的μ。

泊松分布的方差： σ2＝ μ

概率函数中的μ不但是它的平均数，而且是它的方差。3.2.3 泊松分布应用实例 例1 在麦田中，平均每10m2有一株杂草，问每100m2麦田中，有0株、1株、2株、„杂草的概率是多少？

解： 先求出每100m2麦田中，平均杂草数μ

μ＝ 100/10＝ 10株

将μ代入泊松分布的概率分布函数中，p(x)= 10x/x!e10, 即可求出x＝ 0，1，2，„ 时所相应的概率。结果如下：

x ≤5 6 7 8 9 10 p(x)0.0671 0.0631 0.0901 0.1126 0.1251 0.1251 11 12 13 14 ≥15 0.1137 0.0948 0.0729 0.0521 0.0835

例2 绘制遗传连锁图时，制图函数是通过泊松分布推演出的。在一对同源染色体之间交换的出现是服从泊松分布的，将x＝0代入泊松分布的概率函数中，p000!ee得出两基因座之间无交换出现的概率。两基因座之间至少出现一次交换的概率P(x≥1)= 1－e-μ。从遗传学理论可知，在两基因座之间大于等于1的任何有限次交换其重组频率恒等于50％。因此重组率

RF解出两基因座之间的平均交换次数

11e2 μ= －ln（1－2RF）

两基因座之间平均交换一次，其图距为50m.u.，从而可以得出图距 MD＝－50ln（1－2RF）

3.4 正态分布（重点）3.4.1 正态分布的密度函数和分布函数

对于平均数是μ，标准差是σ的正态分布，其密度函数为：

fx1x2222e,x,0正态分布密度函数的图象称为正态曲线

正态分布曲线

以符号N（μ，σ2）表示平均数为μ，标准差为σ2的正态分布。随机变量X的值落在任意区间（a，b）内的概率

PaXb累积分布函数

ba1fxdx2bae2x22dxFxPXx3.4.2 标准正态分布

xfzdz12xez222dz当μ＝0，σ＝1时的正态分布称为标准正态分布，标准正态分布记为N(0,1)。标准正态分布的密度函数为：

u12eu22,u标准正态分布的分布曲线如下图

v2uPUu122uedv标准正态分布曲线

累积分布函数分布图如下：

标准正态分布的累积分布曲线

标准正态分布有以下特性：

1、在u＝0时φ(u)达到最大值。

2、当u不论向哪个方向远离0时，φ(u)的值都减小。

3、曲线两侧对称。

4、曲线在u＝－1和u＝1处有两个拐点。

5、曲线与横轴所夹面积等于1。

6、累积分布曲线围绕点（0，0.5）对称。3.4.3 正态分布表的查法

为了简化计算，随机变量（U）的值（u）落在区间（a,b）内的概率，根据标准正态累积分布函数，已经把不同u值的Ф(u)值列成表（附表2），称为正态分布表。根据以下关系式可以扩展正态分布表的使用范围。

P0Uuu0.5PUuuPUPUu2uu12uPu1Uu2u2u1例1 查u＝－0.82及u＝1.15时的Ф(u)值。解：Ф(-0.82)＝0.20611 Ф(1.15)＝0.87493 例2 随机变量U服从正态分布N（0，1），问随机变量的值落在0，1.21间的概率是多少？落在－1.96，1.96间的概率是多少？ 解：

1)P(0

=1-Ф(-1.96)=1-0.05000 =0.95000

对于服从N（μ，σ2）的随机变量X，首先要进行标准化变换，使之变为标准正态分布，再按上述方法查表。变换的方法是：

u对于随机变量X

xxxPXxPU在对x进行标准化变换后，即可从正态分布表中查出相应的概率值。

例3 已知高粱品种“三尺三”的株高X服从正态分布N（156.2，4.822），求：1)X164厘米的概率；3)X在156－162厘米间的概率。

解：

1)2)161156.2PX16110.843144.82164156.2PX164111.624.8210.947380.05262P152162156.2152156.21624.824.821.20.870.884930.192510.692783)X3.4.4 正态分布的单侧临界值

附表3给出了满足P(U > uα)=α时的uα值。即曲线右侧尾区一定面积(α)下，所对应的u值uα，uα称为α的上侧临界值。

对于左侧尾区，满足P(U

将α平分到两个尾区，每一尾区的曲线下面积只有α/2，满足P(|U| > uα/2)=α时的uα/2称为α的双侧临界值。

正态分布的单侧（上侧）和双侧临界值

3.6 中心极限定理

假设所研究的随机变量X可以被表示为许多相互独立的随机变量Xi的和，如果Xi的数量很大，而且每一个别的Xi对于X所起的作用很小，则可以认为X服从或近似地服从正态分布。

推理：若已知总体平均数为μ，标准差为σ，那么，不论该总体是否正态分布，对于从该总体所抽取的含量为n的样本，当n充分大，其平均数渐近服从正态分布N(μ,σ2/n)。