一元二次不等式的应用教案_一元二次不等式教案

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2.2 一元二次不等式的应用

一教学重点：

1.从实际问题中抽象出一元二次不等式的模型。

2.围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合的思想。

3.分式不等式与简单的高次不等式如何根据实数运算的符号法则，把它们转化与其等价的两个或多个不等式（组）（由表示成的各因式的符号所有可能的组合决定），于是原不等式的解集就是各个不等式组的解集的并集。同时注意分式不等式的同解变形有如下几种：（1）f(x)>0f(x).g(x)>0且g(x)0； g(x)f(x)

二 教学难点：1.深入理解二次函数，一元二次方程与一元二次不等式的关系。

2.分式不等式与简单的高次不等式在转化为一次或二次不等式组时，每一步变形，都应该是不等式的等价变形。在等价变形时，要注意什么时候取并集。带等号的分式不等式，要注意分母不能为零。由于各个不等式组的解集是本组各个不等式解集的交集，计算较烦，且容易出错，同学们一定要细心。另外，再取交集，并集时，可以借助数轴的直观效果，这样可以避免出错。

教学过程

上一小节中，我们讨论了一元二次不等式的解法，本小节我们将一起研究一元二次不等式的应用。

例1：m为何值时，方程x(m3)xm0有实数解？ 解：方程x(m3)xm0有实数解，等价于：2(m3)24m0；

即：m10m90。

这是关于m的一元二次不等式，按求解程序，可得这个不等式的解集为m|m1,或m9。2所以，当m1,或m9时，原方程有实数解。例2：解下列不等式。

x15x10（2）3 x3x1x10可转化成不等式（x+1）解：（1）按商的符号法则，不等式（x-3）0但x3.x3（1）解这个不等式，可得x1,或x>3，即知原不等式的解集为x|x1,或x>3

5x15x13可改写成30 x1x12(x1)0；

即：x1（2）不等式可将这个不等式转化成2(x1)(x1)0； 解得：1x1.所以，原不等式的解集为x|1x1。

在前面，我们借助一元二次不等式yax2bxc的图像，研究了一元二次不等式的解法，下面我们再探究一些简单的高次不等式的解法。例3：解不等式：(x1)(x2)(x3)0

解：这是一个一元二次不等式，我们还是利用对函数图像的分析来解决这个问题：设

f(x)=(x1)(x2)(x3)。

（1）显然，yf(x)的图像与x轴的交点有三个；它们的坐标依次是（1，0）；（2,0）;(3,0)。（2）函数yf(x)的图像把x轴分成了四个不相交的区间，它们依次为：（-，1）；(1,0);(2,3);(3,+ )。

（3）当x>3时，f(x)>0，又函数yf(x)的图像是一条不间断的曲线，并且f(x)的符号每顺次经过x轴的一个交点就会发生一次变化，由此可知yf(x)的函数值的符号如图3-12所示：

变化规律很明显，从右到左每个区间符号正负相间。

通过分析知道不等式(x1)(x2)(x3)0的解集为（1，2）（3，+）.如果把函数f(x)图像与x轴交点（1，0）；（2,0）;(3,0)。形象地看成针眼，函数f(x)的图像看成“线“，那么上述这种求解不等式(x1)(x2)(x3)0的方法，我们形象的把它称为”穿针引线法’.课堂小结：

1.关于一元二次不等式的实际应用题，要注意其实际意义。2.求解一般的高次不等式的解法：

特殊的高次不等式即右边化为0，左边可分解一次或二次的因式的形式不等式，一般用区间法解，注意：（1）左边各因式中x的系数化为“+”，若有因式为二次的（不能分解了）二次项系数也化为“+”，再按我们总结的规律做；（2）注意边界点（数轴上表示是“。”还是“.”）.3.分式不等式，切记去分母，一律移项通分化为

f(x)f(x)>0（或0;且g(x)0；（或f(x).g(x)

布置作业：

习题3——2A组。8，B组，2.