线性代数电子教案LA12B_免费线性代数电子教案

线性代数电子教案LA12B由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“免费线性代数电子教案”。

§1.4 行列式的性质

a11a1na11an1, DΤ, 则DΤD．

性质1 设Dan1anna1nann

证 令bijaji(i,j1,2,,n), 则

b11bn1

DΤ(1)b1p1b2pbp2bnpn

1nb(p12pn)nn

(1)apapp11(22apnnD

1p2pn)ai1ainaj1

性质2 设ij,D, D1aj1ajnai1

证 bikajk,bjkaik(k1,2,,n)

li,j:blkalk(k1,2,,n)

bi1bin

D1(1)(bipibjpj)bj1bjn

(1)t(1)(bjpjbipi)

(1)(1)t(aipjajpi)

(1)(1)t(aiqiajqj)D

推论1 D对调两列得D2D2D．

(p1p2pn)(根据Th2)

ajn, 则D1D．ain

(pipj)

t(pjpi)

qipj,qjpili,j:qlpl

t(qiqj)

T

证 因为D对调两列得D2, 相当于DT对调两行得D2 T

所以D2D2DTD

推论2 D中某两行(列)元素对应相等D0．

证 因为对调此两行(列)后,D的形式不变

所以DDD0

123

例如, 对于任意的a,b,c, 都有abc0．

123a11a1na1nkD anna11ka1j

性质3 kai1kainkD, an1kanjan1ann

证(1)左端(1)[a1p1(kaipi)anpn]

(p1pipn)

k(1)(a1p1aipianpn)kD

推论1 D中某行(列)元素全为0D0．

推论2 D中某两行(列)元素成比例D0．

性质4 若对某个i, 有aijbijcij(j1,2,,n), 则

a11a1na11a1na11a1ncin 

ai1ainbi1an1annan1binci1annan1ann

证 左端(1)(a1p1aipianpn)

(p1pipn)

(1)(a1p1bipianpn)(1)(a1p1cipianpn)

右端(1)+ 右端(2)[注] 性质4对于列的情形也成立．ai1ainraikrji1aj1ainajn

性质5 (ij)

aj1ajnaj1ajn [注] 性质5对于列的情形也成立．

1533

例5 计算D20113112.41311533153315

解 D01055016101150211010023(5)0002191101110215331533

(5)011101110023(5)0023550031000112xaa

例6 计算Daxan．

aax111

解 rD1(r2rn)axan[x(n1)a] aax111

[x(n1)a]0xa0

00xa

[x(n1)a](xa)n1

33112311 123n2100

例7 计算Dn3010．

n001t23n

解 Dnc1jcjj2,,n010000101(22n2)0001

§1.5 行列式按行（列）展开

余子式：在n阶行列式中，将元素aij所在的行与列上的元素划去，其余

元素按照原来的相对位置构成的n1阶行列式，称为元素aij的余子式，记作Mij．

代数余子式：元素aij的代数余子式Aij(1)ijMij．

a11a21

定理3 Dan1a12a22a1na2n an2ann

ai1Ai1ai2Ai2ainAin

(i1,2,,n)

a1jA1ja2jA2janjAnj

(j1,2,,n)

证

证明第一式, 分以下3步．

a11a1,n1

第1步：Mnn(1)(p1pn1)a1p1an1,pn1

an1,1an1,n1

(1pin1)a11a1,n1a1nan1,nann

0an1,1an1,n10(1)(p1pn1pn)a1p1an1,pn1an,pn



pnn(1)(1)(p1pn1pn)a1p1an1,pn1an,pn+ a1p1an1,pn1an,pn(p1pn1pn)pnn

ann(1)(p1pn1n)a1p1an1,pn1

(p1pn1n)(p1pn1)

annMnnann(1)nnMnnannAnn

a1jD1

第2步： D(i,j)0ai1,j0aijai1,janj0D2D4a1jD1D2ai1,jai1,j anj0aij0

D3

(1)(ni)(nj)D3000D4

(1)(ij)aijMijaijAij

第3步：DD(i,1)D(i,2)D(i,n)

ai1Ai1ai2Ai2ainAin

15332011

例8 计算D．

31124131162

解 D310271627011(1)32211

112143043200520555

(1)211(1)(1)2271701aa

例9 计算D2nbbabcdcdd00(1)12nb(2n1)．

cD2(n1)0

解 D2n(1)11a00d0c0D2(n1)0(2n1)

(1)(2n1)(2n1)adD2(n1)(1)(1)(2n1)1bcD2(n1)

(adbc)D2(n1)(adbc)n1D2

D2abadbc

cd

D2n(adbc)n

1112210330n

例10 计算Dn．

100n1n1100 12

解 DnnDn1(1)n1(n1)!

n(n1)Dn2(1)(n1)1(n11)!(1)n1(n1)!

n(n1)Dn2(1)n



n(n1)3D(1)4n!n!n!(1)n(1)n1 n!n!(1)n1 n1n23n1

D211221(1)22(1)311

D(1)2(1)3(1)4(1)n1

n(n!)123n

课后作业：习题一(1)(2)(1)(2)(3)(1)(2)

n