线性代数教案第五章 特征值和特征向量_线性代数第五章特征值

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第五章特征值和特征向量

特征值和特征向量理论,不仅用于解决上述求线性变换的对角阵表示这个问题,在诸如几何中的变换,振动问题中的稳定性,微分方程的边值问题等许多方面都有广泛应用.由于一个矩阵在一定意义下就是一个线性变换,本章着重讨论矩阵的特征值和特征向量.一、教学目标与基本要求 线性变换的特征值和特征向量

定义5.1.1设V是一个线性空间,T:V→V是一个线性变换.若对于数,存在一个非零向量x,使得

T(x)x(5.1.1)则称为T的一个特征值,而称x为T的属于特征值的特征向量.定义5.1.2设A[aik]是一个n阶方阵,是一个变量,矩阵EA的行列式

a11a21det(EA)an1a12an2a1na2n a22ann被称为A的特征多项式,记为f().这是一个变量的n次多项式.而称以为未知量的方程det(EA)f()0为A的特征方程.讨论一个方阵A(被视着某个线性变换的矩阵)的特征值和特征向量的求法.这可以归纳为以下步骤: 1.求出方阵A的特征方程det(EA)0的全部根,它们就是A的特征值.2.将求得的特征值逐个代入齐次线性方程组(EA)xθ,求其通解,就得到了属于每个特征值的全部特征向量.T2 特征值和特征向量的性质

性质1 若是方阵A的特征值,则是A的特征值；若A可逆,则是A的特征值.性质2 设1,2是方阵A的相异的特征值,ξ1,ξ2是分别属于1及2的A的特征向量,则

2211ξ1,ξ2是独立的.性质3 设V是n维线性空间,T:V→V是一个线性变换,它有n个彼此相异的特征值1,,n,ξ1,,ξn是分别属于它们的特征向量.则{ξ1,,ξn}是V的一组基,且T在此基下的矩阵表示就是对角阵Adiag(1,,n).性质4 若A是实对称方阵,1,2是其相异特征值,ξ1,ξ2是分别属于它们的特征向量,则ξ1与ξ2正交.性质5 设1,2,,n是n阶方阵A[aik]的全部特征值,则

(1)f()|EA|n(a11a22ann)n1(1)ndetA,(2)trAi1ni,(3)detA12n 相 似 矩 阵

定义5.3.1设A,B都是n阶方阵,若有可逆方阵C,使

C1ACB,(5.3.5)

1则称B是A的相似矩阵,或说B与A相似.对A进行运算CAC,被称为对A进行相似变换.可逆方阵C被称为将A变成B的相似变换矩阵.相似关系是同阶方阵之间的一种关系,具有:(1)自反性: A与A相似.因为取单位阵E,有EAEA.(2)对称性:若B与A相似,则A与B相似.因为(5.3.5)式两端左乘C,右乘C1,有

1CBC1A.(3)传递性:若B与A相似,D与B相似,则D与A相似.因为据假设,有可逆方阵C1及C2,使C1AC1B,C2BC2D,故有DC2(C1AC1)C2(C1C2)A 11111(C1C2),故D与A相似.定理5.3.1若n阶方阵A与B相似,则A与B的特征多项式相同,从而A与B的特征值亦相同.而且detAdetB.推论 若n阶方阵A与对角阵Λdiag(1,,n)相似,则1,,n即为A的n个特征值.若一个n阶方阵A与一个对角阵Λdiag(1,,n)相似,就称A可以对角化.定理5.3.2实对称阵的特征值为实数.定理5.3.3设A为n阶实数对称阵,是A的特征方程的r重根,则方阵EA的秩是nr,从而属于的特征向量中,恰有r个独立的特征向量.定义5.3.2由n个两两正交的n元单位列向量所构成的n阶方阵,被称为正交阵.二、教学内容及学时分配：

第一节线性变换的特征值和特征向量 2学时 第二节特征值和特征向量的性质

2学时 第三节相 似 矩 阵 2学时

三、教学内容的重点及难点：

1、重点：特征根及特征向量的求法

2、难点：什么时候可以将矩阵对角化

四、教学内容的深化和拓宽：

大部分矩阵不能对角化,那么什么时候可以对角化,对角化在实际中的例子.五、思考题与习题(3)(4)(5)

3警 4 11

六、教学方式（手段）

本章主要采用讲授新课的方式。