几何概型教案模板（精选4篇）_几何概型教案

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第1篇：几何概型

《几何概型（第1课时）》教学设计

青海省民和县高级中学 刘永宏

一、教学内容解析

本节课是人教版普通高中课程标准试验教科书数学（必修3）第三章第三节几何概型（第一课时）。概率这章的核心是运用数学方法去研究不确定现象的规律，让学生初步形成科学的态度，辩证的思想，随机的观念去观察分析研究客观世界的态度寻求并获取认识世界的初步知识和科学方法。本节课是第1课时，注重几何概型概念的建构，是一节概念新授课，也是为更广泛的满足随机模拟的统计思想需要而新增加的内容，同时也为应用数学解决实际问题提供了新的思想和方法。由于概率统计的应用性强，在数学课程中，加强概率统计的份量成为必然，是学生已掌握一般型随机事件及概率的统计定义，以及古典概型的基础上的进一步发展，是等可能事件从有限向无限的延伸。对学生去全面系统的掌握概率知识以及辨证思想的进一步形成具有良好的作用。

二、教学目标设置

由于本节内容极能体现新课程理念，可以成为“知识与技能、过程与方法及情感态度价值观”三个 目标有机融合的重要载体，从而实现三位一体的课程功能。根据上述分析，我确定本节课的三维教学目标如下：

（一）知识与技能：

（1）体会几何概型的意义。

（2）了解几何概型的基本特点与古典概型的异同点、会进行简单的几何概型计算。

（二）过程与方法：

学生通过自主探究，讨论交流，经历概念产生与发展的过程，进一步培养学生观察、分析、类比等逻辑推理能力，通过对本节知识的探究与学习，感知用图形解决概率问题的方法，渗透化归、数形结合等思想方法。

（三）情感、态度与价值观：

本节课选材取例均来源于生活，学生积极参与探究，进一步树立数学是来源于生活而又服务于生活的意识，让学生感受生活中处处有数学，体会数学对自然与社会所产生的作用，使学生充分认识数学的价值，习惯用数学的眼光解决生活中的问题。

为了达到上面的教学目标和根据课程标准的要求，因此把学生能够正确区分几何概型及古典概型两者的区别和学生初步掌握并运用几何概型解决有关概率的基本问题作为教学重点。教学难点是在几何概型中把实验的基本事件和随机事件与某一特定的几何区域及其子区域对应，确定适当的几何测度。

三、学生学情分析

从学生的思维特点看，很容易把本节内容与古典概型的特点，计算方法等方面进行类比因此两者有联系这是积极因素，应因势利导，但是几何概型的计算方法与古典概型有本质的区别，这对学生的思维是一个突破。几何概型的关键是建立合理的几何模型解决相关概率问题，通过建立基本事件与相应元素的对应，达到求解相关概率问题的目的，体现了数形结合的数学思想，是概率问题与几何问题的一种完美结合，学生前面已掌握了一般性的随机事件及概率的统计定义的基础上又学习了古典概型，在古典概型向几何概型的过渡和实际背景如何转化为相应区域的长度、面积、体积是会有一些困难，为了调动学生学习的兴趣，加深对知识的理解和应用，问题情境和例题，习题的选择都与日常生活息息相关。

四、教学策略分析

高一的学生知识经验已较为丰富，具备了一定的自主探究能力和概括归纳能力，利用自主探索与合作交流的方式，由个别到一般，进行归纳的思路学习本节知识，教师在引导中唤醒学生的主体意识，发挥学生的主体能力及作用，让学生在参与中学会学习、学会合作、学会创新，真正成为课堂的主体。因此采用“学生为主体，教师为主导”的“问题——探究”学习模式。将几何概型的教学利用以旧引新、对比迁移、知识运用等方式，让学生感受数学知识形成的过程，让学生经历概念数学化的过程，从而让学生的思维从感性上升到理性，感知用图形解决概率问题的方法。在教学过程利用不同的问题将概念形成的过程教学层层递进，促进学生的学习方式的转变，将学习的主动权较完整地交还给学生。对于基础差和课前准备不充分的学生课堂上教师应指导和帮助，必要时课后做有针对的训练和辅导，学生才能逐渐地掌握方法和知识。

五、教学过程分析

（一）复习

问题一：古典概型的两个基本特点是什么？计算公式如何？m和n指什么 ？

目的是复习古典概型的特点及计算公式为问题二作铺垫。

问题二：(赌博游戏)：甲乙两赌徒掷骰子，规定掷一次谁掷出6点朝上则谁胜，请问甲、乙赌徒获胜的概率谁大？

设计的目的是检查学生对古典概型的公式计算的掌握情况，从生活中的实例出发，自然顺利的提出对于有无限多个试验结果的情况相应的概率应如果求呢?

（二）创设情境，引入新课，板书课题

问题情境一：下图中有两个转盘，甲乙两人玩转盘游戏。规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜。在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少？

问题情境二：射箭比赛的箭靶是涂有五个彩色的分环.从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色,金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122cm,靶心直径为12.2cm.运动员在70m外射箭,假设每箭都能中靶,且射中靶面内任一点都是等可能的,那么射中黄心的概率是多少?

问题情境三：有一杯1升的水,其中含有1个细菌,用一个小杯从这杯水中取出0.1升,求小杯水中含有这个细菌的概率.问题情境中的转盘和射箭问题、取水问题因为这三个问题比较贴近实际生活，本着由易到难的原则，容易接受，让学生明白这三个问题的基本事件，同时也复习一下频率的计算方法。用概率的统计定义是学生知道做试验计算频率这是研究概率所常用的方法。然后让学生直观感知，此类问题与古典概型的区别和联系，进一步提出了三个问题为形成概念做准备。

（三）合作交流，探究概念

学生讨论问题四：

1、这三个概率问题与古典概型有什么区别？

2、有没有和古典概型相同的地方呢？

3、这三个例题的概率与什么有关？

设计学生讨论交流活动的目的自己总结出古典概型与的几何概型区别与联系。教师指名让学生回答，是为了形成几何概型的概念。在此同时让学生展示小组讨论总结出的几何概型的概念，教师适当的点拨形成下面的概念。

（四）概念形成1、对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的每一个点被取到的机会都一样,而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验,称为几何概型.。

2、几何概型的特点:（教师板书）

(1)基本事件有无限多个;

(2)基本事件发生是等可能的.3、几何概型求事件A的概率公式：

教师强调让学生注意下面的两点：

(1)当D分别是线段、平面图形、立体图形时,相应的“区域”分别是长度、面积和体积.（2）在区域 D内随机取点是指：该点落在 D 内任何一处都是等可能的，概率的大小与随机事件所在的区域的形状、位置无关只与该区域的大小有关。

设计意图是学生在老师的引导下思考、交流，归纳概念的理解和解释，以及计算公式，回过头去解决问题情境的概率。问题一找几名学生板书，教师点评，问题二和问题三由学生完成教师提问。并且板书几何概型的特点、引起学生的注意，同时也强调了本节课的重点，强调做实验用频率来估计概率要在大量的重复试验的基础上才有可能接近。同时通过动画演示及理论探讨,使学生即直观又理性地认识到几何概型中的等可能性．经过这样的过程，就突出了本节的教学重点，避免了课堂教学简单化、机械化，体现了新课程理念，真正实现了三个维度目标的有机融合。

（五）思维拓展

问题五：古典概型与几何概型的相同点和不同点是什么？每个基本事件发生的概率是多少?

问题

六、概率为0的事件是不可能事件吗？概率为1的事件是必然事件吗？

这两个问题由学生回答，教师点拨，设计的目的是让学生进一步理解几何概型的特点和意义。

（六）数学应用

例1 某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.例1分析完后由学生板书，教师讲评和补充。从中培养学生良好地书写习惯和严谨的学习习惯。

例2.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，求使四棱锥M-ABCD的体积小于1/6的概率.例2.师生共同分析完后由学生自己完成，教师巡视学生做题情况，适当给予点拨。然后由教师总结出例1和例2的本质上是一致的。都可以理解为一个点随机放入一个区域内，求这个点刚落入指定区域内的概率。从而总结出下面的知识。教师出示知识归纳和梳理：解决几何概型问题的一般方法：都可以把问题抽象成一个元素随机放入一个集合，求该元素刚好放入一个指定子集的概率，则此概率就等于两个几何的长度（线段）、面积（平面图形）、体积（立体图形）之比。

选择两个例题的目的就是总结出解决几何概型的一般的解题方法用集合的观念来解释，能把前面古典概型概率的求法统一起来。总结出解题的一般方法这样对学生今后的学习有较大的帮助。实现了从形到数的转变，实现了测度的优化选择，揭示出数学的本质，突破了难点。而且能优化学生的思维品质，这将有助于帮助学生关注数学内容的不同方面，有助于养成学生以不同的全新的视角去看待问题，这必将有助于学生对数学本质的探索和理解。

（七）反馈练习

1、取一根长度为30cm的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于10cm的概率有多大？

2、在边长为2的正方形中随机撒一粒豆子，则豆子落在正方形内切圆内的概率是多少？

由学生自己完成，教师提问，设计的目的进一步熟练几何概型的特点和从实际问题准确找出测度。

（八）课堂小结

出示总结性问题：同学们通过这一节课的学习，你有哪些收获？请与大家交流一下。

引导学生主动建构，形成知识体系，归纳解题方法，体会数学思想。鼓励学生积极发言，增进师生、学生之间的相互交流、互动。

（九）布置作业

作业:

1、P142：A组1、2、32、选做题：B组1题

作业的布置采取分层作业，分为必做题和选做题、必做题反馈本节重、难点，检查学生对本节课的掌握情况。选做题是让学有余力的学生课后思考。

对刘永宏老师《几何概型》课例的点评

青海省民和高级中学 杨玉辉 王富源

本节课设计独具匠心，教学过程合理科学，从概念的逐层理解，问题的设置，典型例题的解析，练习的配置，都围绕着教学目标服务，授课过程自始至终凸显了学生的主体地位，在传授知识的同时，着力数学思想方法、思维能力和学生自主能力的培养，充分体现了学科特点，展示了教师深厚而扎实的教学功底和灵活驾驭课堂的能力，是一节富有数学意境的成功课例，之所以如此，本节课有如下几个亮点：

一、目标确立准确具体

在教学过程中注重强调概念形成过程，能以课程标准为指导，教学目标贯穿于整个教学活动的全过程，使知识得以具体、拓广、深化，对于学生辩证思想的进一步形成具有良好的作用。

二、教学过程循序渐进

在教学中结合[复习]、[问题情境]、[概念探究]、[概念形成]、[思维拓展]等过程，每个学生在探究学习活动中都有较大的收获，从而避免了简单直接地呈现概念和单调的数学解题。

三、教与学的高度统一

本节课努力追求教与学的完美结合，在教师的引导下学生自主学习，使学生经历知识的产生、发展、和解决的全过程，教与学的过程中学生相互合作协调，师生互动自然、和谐、愉悦，让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程。

四、实例渗透数学思想

利用了几个生活中的实例，引导学生观察分析，提取它们的共性，归纳了几何概型的定义及其概率公式，据此，让学生进一步树立了数学是来源于生活而又服务于生活的意识，把丰富的生活感知数学理性有机融合起来。使学生学会用数学的思想和方法去观察、研究和解决问题。

五、问题设计合理有效

在教学的每一个环节中均设计了问题，问题设置层层递进，突破教材设计理念，符合学生的认知规律和思维，结合多媒体，自然流畅，水到渠成，实现掌握重点突破难点的目的，达到预期的教学效果。

点评人杨玉辉：青海省民和高级中学教导处主任、高中数学教师、学科带头人。

点评人王富源：青海省民和高级中学数学教研组组长、中学高级数学教师、学科带头人

第2篇：《几何概型》上课教案

课题：几何概型

授课教师：卓剑

教材：苏教版数学（必修3）第3章3.3节

[教学目标] 知识与技能

(1)了解几何概型的基本概念、特点和含义，测度的含义；

(2)能运用概率计算公式解决一些简单的几何概型的概率计算问题． 过程与方法

(1)经历由直观感知探讨未知领域的过程，培养数学类比能力和概括能力．(2)通过情感体验，使已有的知识和技能得到内化，同时转化为解决新问题的能力． 情感态度与价值观

(1)通过对几何概型的探求，培养学生的探索能力、钻研精神和科学态度．(2)在探求过程中，通过交流、发现、思维体验、情感体验等激发学生的学习兴趣． [教学重点、难点] 教学重点是：理解几何概型的概念，并能进行简单的几何概型的概率的计算． 教学难点是：通过实例让学生体会测度的合理选取． [教学方法与教学手段] 问题教学法、合作学习法，多媒体课件．

[教学过程] 1．创设情境

周杰伦的《青花瓷》歌曲全长4分钟，高潮部分从第50秒末开始，到第1分30秒末结束．小明最爱听这首歌．

暑假中的一天，他正戴着耳机以单曲循环的播放模式听《青花瓷》．这时，妈妈喊他有事．回来后，他又立刻戴上耳机．

请问：小明刚好听到《青花瓷》高潮部分的概率是多少？

2．提出问题，组织讨论

问题探究1 取一根长度为3m的绳子，如果拉直后在任意位置剪断，剪得两段的长都不小于1m的概率是多少？

问题1 有多少种剪法？

问题2 怎样剪断绳子，能使得剪得两段的长都不小于1m？ 问题3 剪得两段的长都不小于1m的概率是多少？

记“剪得两段绳子的长都不小于1m”为事件A，由于剪断绳子上的每一个位置都可视为一个基本事件；将绳子三等分，当剪断位置在中间一段时，事件A发生，所以事件A发生的概率为

P(A)中间一段绳子的长度1。

绳子的总长度3问题探究2 取一个边长为2a 的正方形及其内切圆，随机地向正方形内丢一粒豆子，那么豆子落入圆内的概率为多少？

记“豆子落入圆内”为事件A，由于豆子落入正方形中的每一个位置都可视为一个基本事件；豆子落入圆内时，事件A发生。则豆子落入圆内的概率为 圆的面积a2P(A)。

正方形的面积4a24

3．建构概念

(1)归纳上述两个随机试验有什么共同特征.(2)归纳、概括几何概型的概念.设D是一个可度量的区域（例如线段、平面图形、立体图形等）．每个基本事件可以视为从区域D内随机取一点，区域D内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A的发生可以视为恰好取到区域D内的某个指定区域d中的点．这时，事件A发生的概率与d的测度（长度、面积、体积等）成正比，与d的形状和位置无关．我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型．

在几何概型中，事件A的概率计算公式为

P(A)d 的测度

D 的测度(3)几何概型与古典概型有何异同点？(学生归纳)

4．数学运用

在1 L高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子。如果从中随机取出10mL，那么含有带麦锈病种子的概率是多少？ 分析 “在1 L高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子”可以理解为带麦锈病的种子在这1L种子中的分布是随机的。“随机取出10mL”可以理解为该10mL的种子所在的区域形状和位置不影响事件发生的概率。

解 记“取出10mL麦种，含麦锈病的种子在内”为事件A，因为带麦锈病的种子在这1L种子中的分布是随机的．所以 事件A的概率为P(A)取出种子的体积101．

所有种子的体积10001001． 100我之所以选取它作为本节课的惟一例题，在于本题具有丰富的生活背景和体验，同时最能反映几何概型的特征，有助于加深学生对于概念的理解。5．情境再现

学生运用几何概型的概念解决课开始时的疑惑，做到首尾呼应。

歌曲全长为4分钟，用线段MN表示；高潮部分为40秒，用线段CD表示。由于小明戴上耳机时可以听到整首歌曲中的任意一个时刻，于是小明听到高潮部分的答 含有麦锈病种子的概率为概率为P高潮的时长401。

总时长2406单曲循环的播放模式可以这样理解，不论小明再次戴上耳机时，歌曲已经循环播放了多少遍，他听到的时刻一定在该歌曲中，那么可以视一首完整的歌曲为研究的区域D。这与课本上的“地铁问题”是一致的。6．反馈练习 在平面直角坐标系xOy中，若D表示横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E表示到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D内随机地投一点，则落在E中的概率为

．（2008年江苏省高考第6题）7．课堂小结

通过本节课的学习，你有哪些收获呢？

8．课后作业 课本103页 练习1,2,3．

第3篇：3.3.1几何概型教案

§3.3.1几何概型（第一课时）（人教A版〃必修3）

教学目标

1、知识与技能：

（1）正确理解几何概型的概念；（2）掌握几何概型的概率公式： P（A）=构成事件A的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）积）的区域长度（面积或体；

（3）会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型；

2、过程与方法：

（1）发现法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力

（2）通过对本节知识的探究与学习，感知用图形解决概率问题的方法，掌握数学思想与逻辑推理的数学方法

3、情感态度与价值观：

本节课的主要特点是随机试验多，学习时养成勤学严谨的学习习惯。

教学重点

几何概型的概念、公式

教学难点

几何概型的应用

教辅手段

投灯片，计算机及多媒体教学．

教学过程

一、情景设置——温故知新 处理方式

借助课件，提出问题，引导学生回顾

1、现实生活中有的古典概型的问题

2、古典概型的特点

二、新知探究

（一）创设情境：

处理方式

1、引导学生独立思考，解决问题：如课本P132图3．3-1中的(2)所示，图中有一个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率。

（1）回顾已学的计算随机事件的概率的方法，引导学生选择解决此问题的方法。（2）引导学生思考讨论得出结果。

2、几何概型的概念：

（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；

（2）利用类比的方法引导学生总结几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等．

（3）引导学生由几何概型的概念、特点及转盘问题总结出几何概型的概率公式： P（A）=构成事件A的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）积）的区域长度（面积或体

三、即时体验

处理方式

1、以问题探究的形式引导学生区分古典概型和几何概型。

问题1：判下列试验中事件A发生的概度是古典概型，还是几何概型。

（1）抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率；

（2）将一颗豆子随即的扔到如图的方格中,假设豆子不落在线上,求落在红色区域的概率.解：（1）抛掷两颗骰子，出现的可能结果有6×6=36种，且它们都是等可能的，因此属于古典概型；

（2）豆子落入红色区域时有无限多个结果，而且不难发现“落入红色区域”的概率可以用红色部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域面积有关，因此属于几何概型．

2、以问题探究的形式引导学生理解几何概型中的事件A的概率P（A）只与子区域A的几何度量（长度、面积、体积）成正比，而与A的位置和形状无关。

问题2：取一根长为3m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不少于1m的概率为多大？

问题3：一海豚在水中游弋，水池为长30m，宽20m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率。

问题4：有有一杯2升的水,其中含有一个细菌,用一个小杯从这杯中取出0.1升水,求小杯中含有这个细菌的概率.问题2解： 设A={剪得两段的长都不少于1m}，A的发生就是中间一米的那段一段：

P（A）=13

问题3解：设A={海豚嘴尖离岸边不超过2m}，为图中兰色区域：

P（A）=3020261630200.12=

23750.31 问题2解： 设A={小杯中含有这个细菌}，它的概率只与取出的水的体积有关

P（A）=

=0.5

四、归纳提升

处理方式

引导学生归纳本课时的主要学习内容，交流成果教师帮助完善。

1、几何概型的概念，特点

2、几何概型的公式及应用

五、课后延续

1、回顾本课的学习过程，整理学习笔记

2、完成书面作业P14习题13、选作问题：

（1）在长为12cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边做正方形，求这正方形的面积介于36cm与81cm之间的概率。

（2）已知地铁列车每10分一班，在车站停1分，求乘客到达站台立即乘上车的概率。

第4篇：概率统计11.6 几何概型(教案)

响水二中高三数学（理）一轮复习

教案 第十一编 概率统计 主备人 张灵芝 总第59期

§11.6 几何概型

基础自测

1.质点在数轴上的区间［0，2］上运动，假定质点出现在该区间各点处的概率相等，那么质点落在区间 ［0，1］上的概率为.答案 12

2.某人向圆内投镖，如果他每次都投入圆内，那么他投中正方形区域的概率为.（第2题）（第5题）

答案 2

3.某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过3分钟的概率是.答案 35

4.设D是半径为R的圆周上的一定点，在圆周上随机取一点C，连接CD得一弦，若A表示“所得弦的长大于圆内接等边三角形的边长”，则P（A）=.答案 13

5.如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在30°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在 ∠yOT内的概率为.答案 16

例题精讲

例1 有一段长为10米的木棍，现要截成两段，每段不小于3米的概率有多大？

解 记“剪得两段都不小于3米”为事件A，从木棍的两端各度量出3米，这样中间就有10-3-3=4（米）.在中间的4米长的木棍处剪都能满足条件，所以P（A）=

103310=

410=0.4.例2 街道旁边有一游戏：在铺满边长为9 cm的正方形塑料板的宽广地面上，掷一枚半径为1 cm的小圆板，规则如下：每掷一次交5角钱，若小圆板压在正方形的边，可重掷一次；若掷在正方形内，须再

376 交5角钱可玩一次；若掷在或压在塑料板的顶点上，可获1元钱.试问：（1）小圆板压在塑料板的边上的概率是多少？（2）小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少？

解（1）考虑圆心位置在中心相同且边长分别为7 cm和9 cm的正方形围成的区域内，所以概率为927922=3281.14（2）考虑小圆板的圆心在以塑料板顶点为圆心的圆内，因正方形有四个顶点，所以概率为

9281.例3（14分）在1升高产小麦种子中混入一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10毫升，含有麦锈病 种子的概率是多少？从中随机取出30毫升，含有麦锈病种子的概率是多少？ 解 1升=1 000毫升，1分 3分 7分 记事件A：“取出10毫升种子含有这粒带麦锈病的种子”.则P（A）=101000=0.01，即取出10毫升种子含有这粒带麦锈病的种子的概率为0.01.记事件B：“取30毫升种子含有带麦锈病的种子”.则P（B）=301000

9分 14分 =0.03，即取30毫升种子含有带麦锈病的种子的概率为0.03.例4 在Rt△ABC中，∠A=30°，过直角顶点C作射线CM交线段AB于M，求使|AM|＞|AC|的概率.解 设事件D“作射线CM，使|AM|＞|AC|”.在AB上取点C′使|AC′|=|AC|，因为△ACC′是等腰三角形，180所以∠ACC′=302=75°,1590A=90-75=15，Ω=90，所以，P（D）=

=

16.例5 甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离 去.求两人能会面的概率.解 以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的充要条件是|x-y|≤15.在如图所示平面直角坐标系下，（x,y）的所有可能结果是边长为60的正方形区域，而事件A“两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示.由几何概型的概率公式得： P（A）= SAS=6024522=360020253600=

716.60377 所以，两人能会面的概率是716.巩固练习

1.如图所示，A、B两盏路灯之间长度是30米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C、D，问A与C，B与D之间的距离都不小于10米的概率是多少？

解 记E：“A与C，B与D之间的距离都不小于10米”，把AB三等分，由于中间长度为30×∴P（E）=103013=10（米），=13.2.（2008·江苏，6）在平面直角坐标系xOy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随机投一点，则落入E中的概率为.答案 16

3.如图所示，有一杯2升的水，其中含有1个细菌，用一个小杯从这杯水中取出0.1升水，求小杯水中含有这个细菌的概率.解 记“小杯水中含有这个细菌”为事件A，则事件A的概率只与取出的水的体积有关，符合几何概型的条件.∵A=0.1升，Ω=2升，∴由几何概型求概率的公式，得P（A）=

AΩ=

0.12=

120=0.05.4.在圆心角为90°的扇形AOB中，以圆心O为起点作射线OC，求使得∠AOC和∠BOC都不小于 30°的概率.解 如图所示，把圆弧 三等分，则∠AOF=∠BOE=30°，记A为 “在扇形AOB内作一射线OC，使∠AOC和∠BOC都不小于30°”，要使∠AOC和∠BOC都不小于30°，则OC就落在∠EOF内，∴P（A）=

3090=

13.378 5.将长为l的棒随机折成3段，求3段构成三角形的概率.解 设A=“3段构成三角形”，x,y分别表示其中两段的长度，则第3段的长度为l-x-y.则试验的全部结果可构成集合Ω={（x，y）|0＜x＜l,0＜y＜l,0＜x+y＜l}, 要使3段构成三角形，当且仅当任意两段之和大于第3段，即x+y＞l-x-yx+y＞y＜l2,x+l-x-y＞y

l2,y+l-x-y＞xx＜l2l2l2.故所求结果构成集合l2A=(x,y)|xy,y,x.由图可知，所求概率为

1P（A）=A的面积Ω的面积=l22l22=14.2回顾总结

知识 方法 思想

课后作业

一、填空题

1.在区间（15，25］内的所有实数中随机取一个实数a,则这个实数满足17＜a＜20的概率是.答案 310

2.在长为10厘米的线段AB上任取一点G，用AG为半径作圆，则圆的面积介于36平方厘米到64平方厘米的概率是.答案 15

3.当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，那么你看到黄灯的概率是.答案 116

4.如图为一半径为2的扇形（其中扇形中心角为90°），在其内部随机地撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为.379（第4题）(第7题)答案 1-2



S45.在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于答案 34的概率是.6.已知正方体ABCD—A1B1C1D1内有一个内切球O,则在正方体ABCD—A1B1C1D1内任取点M，点M在球O内的概率是.答案 6

7.已知如图所示的矩形，其长为12，宽为5.在矩形内随机地撒1 000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为550颗，则可以估计出阴影部分的面积约为.答案 33 8.在区间（0，1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于答案 172565”的概率为.二、解答题

9.射箭比赛的箭靶涂有5个彩色的分环，从外向内白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色，金色靶心叫“黄心”，奥运会的比赛靶面直径是122 cm，靶心直径12.2 cm,运动员在70米外射箭，假设都能中靶，且射中靶面内任一点是等可能的，求射中“黄心”的概率.解 记“射中黄心”为事件A，由于中靶点随机的落在面积为的大圆内，而当中靶点在面积为142

14×122 cm

×12.2 cm的黄心时，事件A发生，于是事件A发生的概率

1P（A）=41412.21222=0.01,所以射中“黄心”的概率为0.01.210.假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6∶30至7∶30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上7∶00至8∶00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少？

380 解 设事件A“父亲离开家前能得到报纸”.在平面直角坐标系内，以x和y分别表示报纸送到和父亲离开家的时间，则父亲能得到报纸的充要条件是x≤y,而（x,y)的所有可能结果是边长为1的正方形，而能得到报纸的所有可能结果由图中阴影部分表示，这是一个几何概型问题，A=1-212×12×12=78，Ω =1，所以P（A）=

AΩ=

78.11.已知等腰Rt△ABC中，∠C=90°.（1）在线段BC上任取一点M，求使∠CAM＜30°的概率；（2）在∠CAB内任作射线AM，求使∠CAM＜30°的概率.解（1）设CM=x，则0＜x＜a.（不妨设BC=a）.33若∠CAM＜30°,则0＜x＜3区间0，a的长度3区间(0,a)的长度a,故∠CAM＜30°的概率为

P（A）==33.（2）设∠CAM=，则0°＜＜45°.若∠CAM＜30°,则0°＜＜30°, 故∠CAM＜30°的概率为P（B）=2

(0,30)的长度(0，45)的长度=

23.12.设关于x的一元二次方程x+2ax+b=0.（1）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率.（2）若a是从区间［0，3］任取的一个数，b是从区间［0，2］任取的一个数，求上述方程有实根的概率.解 设事件A为“方程x+2ax+b=0有实根”.当a≥0,b≥0时，方程x+2ax+b=0有实根的充要条件为a≥b.（1）基本事件共有12个：

（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）.其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值.381 2222

2事件A中包含9个基本事件，事件A发生的概率为P（A）=

912=

34.（2）试验的全部结果所构成的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2}.构成事件A的区域为

123222{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b}.所以所求的概率为P(A)=

32=

23.382