高二数学教案_史上最全高二数学教案

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不等式专题讲解

一、复习旧知

（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”

(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．

二、新课讲解

重难点：不等式的应用

考 点： 不等式在函数最值中的应用 易混点： 不等式的运算 ◆【典型例题】

【例1】 解不等式：a1a x2解：原不等式可化为：(a1)x(2a)＞0，x2即［(a－1)x+(2－a)］(x－2)＞0.当a＞1时，原不等式与(x－若

a2)(x－2)＞0同解.a1a2a2≥2，即0≤a＜1时，原不等式无解；若＜2，即a＜0或a＞1，于是a＞1时原a1a1a2)∪(2，+∞).a1a2a2，2)；若0＜a＜1，解集为(2，)a1a1不等式的解为(－∞，当a＜1时，若a＜0，解集为(综上所述：

当a＞1时解集为(－∞，a2a2)∪(2，+∞)； 当0＜a＜1时，解集为(2，)； a1a1a2，2).a1当a=0时，解集为；当a＜0时，解集为(【例2】 解关于x的不等式：log2x1log4[ax21]a0．

x1x101解：原不等式等价于ax210 ①，即x2.a2x1ax21xax2011x2由于a1，所以12，所以，上述不等式等价于

② aaxax201x2（1）当1a2时，不等式组②等价于 ax2或xa1a121此时，由于2a0，所以 2a．

aaa从而

21xa或x2． a33x（2）当a2时，不等式组②等价于所以

x，且x2． 22x

21x2（3）当a2时，不等式组②等价于 ax2或xa此时，由于2综上可知： 112，所以，2x2或xa． aa当1a2时，原不等式的解集为x2321xa或x2； a当a2时，原不等式的解集为xx，且x2；

1当a2时，原不等式的解集为x2x2或xa．

a【例3】 解关于x的不等式：4logaxlogax2a0，a1 解：原不等式等价于

4logax02logax42logax4logx20 2alogx3或logx0logx3logx0aaaa24logxlogx2aa3logax4，∴当a1时，原不等式的解集为xa3xa4

当0a1时，原不等式的解集为xa4xa3

【例4】 已知f(x)是定义在［－1，1］上的奇函数，且f(1)=1，若m、n∈［－1，1］，m+n≠0时f(m)f(n)＞0.mn



(1)用定义证明f(x)在［－1，1］上是增函数；(2)解不等式：f(x+

11)＜f()； 2x1(3)若f(x)≤t2－2at+1对所有x∈［－1，1］，a∈［－1，1］恒成立，求实数t的取值范围.解：(1)证明：任取x1＜x2，且x1，x2∈［－1，1］，则f(x1)－f(x2)=f(x1)+f(－x2)=∵－1≤x1＜x2≤1，∴x1+(－x2)≠0，由已知f(x1)f(x2)＞0，又 x1－x2＜0，x1x2f(x1)f(x2)·(x1－x2)

x1x2∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x)在［－1，1］上为增函数.(2)解：∵f(x)在［－1，1］上为增函数，11x12131

解得：{x|－≤x＜－1，x∈R} ∴1x1211x2x1(3)解：由(1)可知f(x)在［－1，1］上为增函数，且f(1)=1，故对x∈［－1，1］，恒有f(x)≤1，所以要f(x)≤t2－2at+1对所有x∈［－1，1］，a∈［－1，1］恒成立，即要t2－2at+1≥1成立，故t2－2at≥0，记g(a)=t2－2at，对a∈［－1，1］，g(a)≥0，只需g(a)在［－1，1］上的最小值大于等于0，g(－1)≥0，g(1)≥0，解得，t≤－2或t=0或t≥2.∴t的取值范围是：{t|t≤－2或t=0或t≥2}.家庭作业

姓名__________年纪__________日期_________得分_____________ 1．不等式|ax1|a(aR)的解集是

（D）x1}

a

（A）{x|x

（B）{x|x1} 2a

（C）{x|111} x}

（D）{x|x0或0x2aa2a2．当x(1,2)时，不等式(x1)2logax恒成立，则a的取值范围是（B）

（A）[2,)

（B）（1，2）

（C）(1,2]

（D）（0，1）

3．不等式logx1(2x3)logx1(x2)成立的一个充分但不必要条件是

（B）

（A）x2

（B）x4

（C）1x2

（D）x1 4．三个数log1124，20.，20.2的大小关系是

（B）

（A）log10.22220.1

（B）log11220.20.244

（C）20.120.2log1.224

（D）20.1log12420

5．若全集IR，Axx10，Bxx22lgx则AB是(B)A．2 B．1

C．

D．xx1

6．下列命题中，正确的是(C)A．若x2x，则x0

B．若x0，则x2x C．若x0，则x2x

D．若x2x，则x0

7．若a，b是任意实数，且ab，则(D)ab A．a2b2 B．ba1

C．lgab0

D．1122

8．设0ab且ab1，则下列四数中最大的是(A)A．a2b2

B．2ab

C．a

D．9．不等式a2x22a2x40对xR恒成立，则a的取值范围为(D A．，22， B．，22， C．2，2 D．2，2

10．不等式0.52lg|x|1的解集是(B)A．1，1 B．1，00，1 C．

D．，1122，

11.解不等式：a2x1ax2ax2(a0)解：∵ ax2+ax2=(a2+1a2)ax，变形原不等式，得

a2x(a21xx1a2)a10，即(aa2)(axa2)0)

(1)当0

(2)当a>1时，a2

(3)当a=1时，a21a21a21a2，则a2

，则a-2

，无解。综上，当a≠1时，-2

12．解不等式logx3x111

解：由x10且x0，x1，得x1，原不等式等价于3x11x

3x1x1

而x1；9x1x22x1 整理，x27x1002x5 ∴2x5为所求。

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